Страница 162 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Определите графически количество решений системы уравнений

$\begin{cases} y = x^{-2}, \\ y = \frac{1}{3}x. \end{cases}$

Чтобы определить количество решений системы уравнений графически, необходимо построить графики функций, входящих в систему, в одной координатной плоскости и подсчитать количество точек их пересечения.

1. Построение графика функции $y = x^{-2}$
Данную функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^2}$.
- Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.
- Так как $x^2 \ge 0$, то $y = \frac{1}{x^2}$ всегда будет принимать только положительные значения ($y > 0$). Это означает, что график функции полностью находится в верхней полуплоскости (в I и II координатных четвертях).
- Функция является четной, поскольку $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси Oy.
- График состоит из двух ветвей, которые приближаются к оси Y при $x \to 0$ и к оси X при $x \to \pm\infty$.

2. Построение графика функции $y = \frac{1}{3}x$
- Это линейная функция, графиком которой является прямая линия.
- Прямая проходит через начало координат, точку (0, 0).
- Угловой коэффициент $k = \frac{1}{3}$ положителен, значит, функция возрастает, и её график расположен в I и III координатных четвертях.

3. Нахождение количества точек пересечения
Совместим оба графика в одной системе координат.
- График функции $y = \frac{1}{x^2}$ расположен в I и II четвертях.
- График функции $y = \frac{1}{3}x$ расположен в I и III четвертях.
- Пересечение графиков возможно только в I координатной четверти, где обе функции существуют и принимают положительные значения.
- В I четверти прямая $y = \frac{1}{3}x$ выходит из начала координат и монотонно возрастает. Ветвь графика $y = \frac{1}{x^2}$ в этой же четверти монотонно убывает от $+\infty$ до 0. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза. Визуально очевидно, что они пересекаются в одной точке.

Таким образом, система уравнений имеет одно решение, так как графики её функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1.

7. Решите неравенство:

1) $\sqrt[3]{2x-1} < -4$;

2) $\sqrt[6]{13x-1} < 2$.

1) $\sqrt[3]{2x-1} < -4$

Данное неравенство содержит корень нечетной степени (кубический корень). Область определения для корня нечетной степени — все действительные числа, поэтому никаких ограничений на подкоренное выражение $2x-1$ не накладывается.

Для решения неравенства возведем обе его части в третью степень. Так как степень нечетная, знак неравенства сохраняется:

$(\sqrt[3]{2x-1})^3 < (-4)^3$

$2x - 1 < -64$

Теперь решим полученное линейное неравенство. Перенесем $-1$ в правую часть с противоположным знаком:

$2x < -64 + 1$

$2x < -63$

Разделим обе части на 2:

$x < -\frac{63}{2}$

$x < -31,5$

Таким образом, решением неравенства является промежуток $(-\infty; -31,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -31,5)$.

2) $\sqrt[6]{13x-1} < 2$

Данное неравенство содержит корень четной степени (корень шестой степени). Арифметический корень четной степени по определению является неотрицательным числом. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это приводит к системе из двух условий.

Во-первых, найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$13x - 1 \ge 0$

$13x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{13}$

Во-вторых, поскольку обе части исходного неравенства $\sqrt[6]{13x-1} < 2$ неотрицательны (левая часть по определению корня, правая — положительное число 2), мы можем возвести обе части в шестую степень. Знак неравенства при этом сохранится:

$(\sqrt[6]{13x-1})^6 < 2^6$

$13x - 1 < 64$

Решим полученное линейное неравенство:

$13x < 64 + 1$

$13x < 65$

$x < \frac{65}{13}$

$x < 5$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с областью допустимых значений. Составим систему:

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{13} \\ x < 5 \end{cases}$

Решением системы является интервал $[\frac{1}{13}; 5)$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{13}; 5)$.

8. Упростите выражение

$\left( \frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[4]{a}-16} + \frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[4]{a}-8\sqrt[8]{a}+16} \right) \cdot \frac{(4-\sqrt[8]{a})^2}{2\sqrt[8]{a}} - \frac{\sqrt[8]{a}}{\sqrt[8]{a}+4}$

Для упрощения выражения введем замену. Пусть $x = \sqrt[8]{a}$. Тогда $\sqrt[4]{a} = (\sqrt[8]{a})^2 = x^2$.
После замены исходное выражение примет вид:
$ \left( \frac{x}{x^2 - 16} + \frac{x}{x^2 - 8x + 16} \right) \cdot \frac{(4 - x)^2}{2x} - \frac{x}{x + 4} $
Упростим выражение по действиям.
Сначала выполним сложение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (разность квадратов и квадрат разности):
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
$x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-4)^2(x+4)$ и сложим их:
$ \frac{x}{(x-4)(x+4)} + \frac{x}{(x-4)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-4)^2(x+4)} + \frac{x(x+4)}{(x-4)^2(x+4)} = \frac{x(x-4) + x(x+4)}{(x-4)^2(x+4)} = \frac{x^2 - 4x + x^2 + 4x}{(x-4)^2(x+4)} = \frac{2x^2}{(x-4)^2(x+4)} $
Теперь подставим полученный результат обратно в выражение и выполним умножение. Учтем, что $(4-x)^2 = (-(x-4))^2 = (x-4)^2$.
$ \frac{2x^2}{(x-4)^2(x+4)} \cdot \frac{(4-x)^2}{2x} - \frac{x}{x+4} = \frac{2x^2}{(x-4)^2(x+4)} \cdot \frac{(x-4)^2}{2x} - \frac{x}{x+4} $
Сократим общие множители $2x$ и $(x-4)^2$ в числителе и знаменателе первого слагаемого:
$ \frac{x}{x+4} - \frac{x}{x+4} $
Выполним вычитание:
$ \frac{x}{x+4} - \frac{x}{x+4} = 0 $
Результат не зависит от переменной, следовательно, при всех допустимых значениях $a$ выражение равно 0.
Ответ: 0

1. Найдите значение выражения:

1) $0,25 \cdot 64^{\frac{1}{3}};$

2) $36^{1,5};$

3) $\left(1\frac{24}{25}\right)^{-0,5}.$

1) Для решения выражения $0,25 \cdot 64^{\frac{1}{3}}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной и вычислим значение степени.
Десятичная дробь $0,25$ равна $\frac{1}{4}$.
Степень с дробным показателем $64^{\frac{1}{3}}$ представляет собой кубический корень из 64, то есть $\sqrt[3]{64}$.
Так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Теперь выполним умножение: $0,25 \cdot 64^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.
Ответ: 1

2) Для решения выражения $36^{1,5}$ представим десятичный показатель степени в виде обыкновенной дроби.
$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Таким образом, выражение можно записать как $36^{\frac{3}{2}}$.
Используем свойство степеней $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$36^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{36})^3$.
Сначала вычисляем квадратный корень: $\sqrt{36} = 6$.
Затем возводим результат в третью степень: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216

3) Для решения выражения $(1\frac{24}{25})^{-0,5}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь, а десятичный показатель степени — в обыкновенную.
Преобразуем смешанное число: $1\frac{24}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 24}{25} = \frac{49}{25}$.
Преобразуем показатель степени: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{49}{25})^{-\frac{1}{2}}$.
Используем свойство отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{49}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{25}{49})^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ означает извлечение квадратного корня: $(\frac{25}{49})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{25}{49}}$.
Вычисляем корень: $\sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}$.
Ответ: $\frac{5}{7}$

2. Упростите выражение:

1) $a^{0,9} \cdot a^{2,4};$

2) $a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}};$

3) $(a^3)^{-0,4} \cdot (a^{-5})^{-0,2} : (a^{-0,7})^6;$

4) $(a^{1\frac{4}{7}} b^{\frac{3}{14}})^{\frac{2}{11}}.$

1) Для упрощения выражения $a^{0,9} \cdot a^{2,4}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

$a^{0,9} \cdot a^{2,4} = a^{0,9 + 2,4} = a^{3,3}$

Ответ: $a^{3,3}$

2) Для упрощения выражения $a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

$a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}} = a^{\frac{17}{18} - (-\frac{1}{12})} = a^{\frac{17}{18} + \frac{1}{12}}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 12 равен 36.

$\frac{17}{18} + \frac{1}{12} = \frac{17 \cdot 2}{36} + \frac{1 \cdot 3}{36} = \frac{34}{36} + \frac{3}{36} = \frac{34 + 3}{36} = \frac{37}{36}$

Таким образом, итоговое выражение равно $a^{\frac{37}{36}}$.

Ответ: $a^{\frac{37}{36}}$

3) Упростим выражение $(a^3)^{-0,4} \cdot (a^{-5})^{-0,2} : (a^{-0,7})^6$, используя следующие свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), при умножении степеней показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении – вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Сначала упростим каждый множитель и делитель:

$(a^3)^{-0,4} = a^{3 \cdot (-0,4)} = a^{-1,2}$

$(a^{-5})^{-0,2} = a^{-5 \cdot (-0,2)} = a^1 = a$

$(a^{-0,7})^6 = a^{-0,7 \cdot 6} = a^{-4,2}$

Теперь объединим все части в одно выражение:

$a^{-1,2} \cdot a^1 : a^{-4,2} = a^{-1,2 + 1 - (-4,2)} = a^{-0,2 + 4,2} = a^4$

Ответ: $a^4$

4) Для упрощения выражения $(a^{1\frac{4}{7}}b^{\frac{3}{14}})^{2\frac{6}{11}}$ воспользуемся свойством возведения произведения в степень ($(xy)^n = x^n y^n$) и свойством возведения степени в степень ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$).

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

$2\frac{6}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{28}{11}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$(a^{\frac{11}{7}}b^{\frac{3}{14}})^{\frac{28}{11}} = (a^{\frac{11}{7}})^{\frac{28}{11}} \cdot (b^{\frac{3}{14}})^{\frac{28}{11}}$

Теперь возведем в степень каждый множитель отдельно:

Для $a$: $a^{\frac{11}{7} \cdot \frac{28}{11}} = a^{\frac{28}{7}} = a^4$

Для $b$: $b^{\frac{3}{14} \cdot \frac{28}{11}} = b^{\frac{3 \cdot 2}{11}} = b^{\frac{6}{11}}$

Объединив результаты, получаем:

$a^4 b^{\frac{6}{11}}$

Ответ: $a^4 b^{\frac{6}{11}}$

3. Решите уравнение $ \sqrt{6x + 16} = x. $

Для решения уравнения $\sqrt{6x + 16} = x$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $6x + 16 \ge 0$.
Во-вторых, результат извлечения арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Из первого неравенства получаем: $6x \ge -16$, то есть $x \ge -\frac{16}{6}$ или $x \ge -\frac{8}{3}$.
Объединяя оба условия ($x \ge -\frac{8}{3}$ и $x \ge 0$), получаем итоговое ограничение для ОДЗ: $x \ge 0$.

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат, чтобы избавиться от иррациональности:
$(\sqrt{6x + 16})^2 = x^2$
$6x + 16 = x^2$
Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 6x - 16 = 0$
Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию ОДЗ ($x \ge 0$):
1. Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 0$.
2. Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge 0$, следовательно, он является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Проверим правильность решения, подставив корень $x=8$ в исходное уравнение:
$\sqrt{6(8) + 16} = 8$
$\sqrt{48 + 16} = 8$
$\sqrt{64} = 8$
$8 = 8$
Равенство выполняется, значит, корень найден верно.

Ответ: 8

4. Сократите дробь:

1) $\frac{a^{\frac{5}{6}} - 9a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 9}$;

2) $\frac{a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}}$;

3) $\frac{4x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}}}$.

1) Исходная дробь: $ \frac{a - 9a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 9} $.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{5}{6}} $. Для этого представим $ a $ как $ a^1 = a^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{1}{6}} $.
Получаем: $ a - 9a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9) $.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$ \frac{a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9)}{a^{\frac{1}{6}} - 9} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a^{\frac{1}{6}} - 9) $, при условии, что он не равен нулю.
$ \frac{a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9)}{a^{\frac{1}{6}} - 9} = a^{\frac{5}{6}} $.
Ответ: $ a^{\frac{5}{6}} $.

2) Исходная дробь: $ \frac{a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}} $.
Числитель представляет собой разность квадратов, так как $ a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 $ и $ 9b^{\frac{1}{6}} = (3b^{\frac{1}{12}})^2 $.
Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $:
$ a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (3b^{\frac{1}{12}})^2 = (a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}) $.
Подставим разложенный на множители числитель в дробь:
$ \frac{(a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}})}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}) $:
$ a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}} $.
Ответ: $ a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}} $.

3) Исходная дробь: $ \frac{4x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}}} $.
Преобразуем числитель. Он является полным квадратом разности $ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $.
В нашем случае $ A = 2x^{\frac{1}{8}} $ и $ B = y^{\frac{1}{6}} $. Проверим:
$ A^2 = (2x^{\frac{1}{8}})^2 = 4x^{\frac{1}{4}} $.
$ B^2 = (y^{\frac{1}{6}})^2 = y^{\frac{1}{3}} $.
$ 2AB = 2 \cdot 2x^{\frac{1}{8}} \cdot y^{\frac{1}{6}} = 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} $.
Таким образом, числитель равен $ (2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})^2 $.
Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $ x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} $:
$ 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}) = x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}) $.
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})^2}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}) $:
$ \frac{2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}} $.
Ответ: $ \frac{2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}} $.

5. Постройте график функции $y = \left(\left(x + 5\right)^{\frac{1}{5}}\right)^5$.

Для построения графика функции $y = ((x+5)^{\frac{1}{5}})^5$ сначала проанализируем и упростим ее выражение.

1. Анализ и упрощение функции

Исходная функция: $y = ((x+5)^{\frac{1}{5}})^5$. Найдем область определения функции. Выражение $(x+5)^{\frac{1}{5}}$ представляет собой корень пятой степени из $(x+5)$, то есть $\sqrt[5]{x+5}$. Так как корень нечетной степени (в данном случае, 5-й) определен для любого действительного числа, подкоренное выражение $(x+5)$ может принимать любые значения. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим выражение, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$y = ((x+5)^{\frac{1}{5}})^5 = (x+5)^{\frac{1}{5} \cdot 5} = (x+5)^1 = x+5$.

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком линейной функции $y = x+5$, который является прямой линией.

2. Построение графика

Для построения прямой достаточно найти координаты двух ее точек. Удобно выбрать точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, получаем $y = 0 + 5 = 5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 5)$.
• При $y = 0$, получаем $0 = x + 5$, откуда $x = -5$. Точка пересечения с осью Ox: $(-5, 0)$.

Отметим точки $(0, 5)$ и $(-5, 0)$ на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Ответ: Графиком функции $y = ((x+5)^{\frac{1}{5}})^5$ является прямая линия $y=x+5$, проходящая через точки $(-5, 0)$ и $(0, 5)$.

6. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x+7} - \sqrt[6]{x+7} = 2$;

2) $\sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = 2$.

1) $\sqrt[3]{x+7} - \sqrt[6]{x+7} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени (шестой) должно быть неотрицательным:
$x + 7 \ge 0$
$x \ge -7$

Для решения уравнения введем замену. Пусть $t = \sqrt[6]{x+7}$.
Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.
Тогда $\sqrt[3]{x+7} = (\sqrt[6]{x+7})^2 = t^2$.
Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 - t = 2$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 2$ подходит, так как $2 \ge 0$.
Корень $t_2 = -1$ является посторонним, так как $-1 < 0$.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t=2$:
$\sqrt[6]{x+7} = 2$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[6]{x+7})^6 = 2^6$
$x+7 = 64$
$x = 64 - 7$
$x = 57$

Полученный корень $x=57$ удовлетворяет ОДЗ ($57 \ge -7$).

Ответ: 57

2) $\sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge 2$.

Для решения уединим один из корней. Перенесем $\sqrt{x-2}$ в правую часть уравнения:
$\sqrt{x+6} = 2 + \sqrt{x-2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+6})^2 = (2 + \sqrt{x-2})^2$
$x+6 = 4 + 4\sqrt{x-2} + (x-2)$
$x+6 = x + 2 + 4\sqrt{x-2}$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
$x+6 - x - 2 = 4\sqrt{x-2}$
$4 = 4\sqrt{x-2}$

Разделим обе части на 4:
$1 = \sqrt{x-2}$

Снова возведем обе части в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{x-2})^2$
$1 = x-2$
$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 2$).
$3 \ge 2$, следовательно, корень подходит.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:
$\sqrt{3+6} - \sqrt{3-2} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$
$2 = 2$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 3

7. Решите неравенство $\sqrt{5x-6} > x$.

Для решения иррационального неравенства $\sqrt{5x-6} > x$ необходимо рассмотреть два случая, которые в совокупности дают полное решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 5x-6 \ge 0 \\ x < 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \ge 0 \\ 5x-6 > x^2 \end{cases}$

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} 5x \ge 6 \\ x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge \frac{6}{5} \\ x < 0 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше нуля и больше или равно $\frac{6}{5}$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ 5x-6 > x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы: $5x-6 > x^2$. Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:

$x^2 - 5x + 6 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Для этого можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3$

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x + 6 < 0$ выполняется на интервале между корнями, то есть $2 < x < 3$.

Теперь необходимо учесть первое условие второй системы: $x \ge 0$. Найдем пересечение решений:

$\begin{cases} 2 < x < 3 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является интервал $(2; 3)$.

Итоговое решение исходного неравенства является объединением решений обеих систем. Так как первая система не имеет решений, а решением второй является интервал $(2; 3)$, то общее решение совпадает с решением второй системы.

Ответ: $(2; 3)$.