Страница 168 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Решите неравенство:

1) $(x-6)(x+11)(x-14) < 0;$

2) $(7-x)(x-11)(x-9)^2 \le 0;$

3) $\frac{x}{x-4} - \frac{6}{x} - \frac{16}{x^2 - 4x} \ge 0.$

1) $(x-6)(x+11)(x-14) < 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдем нули функции $y = (x-6)(x+11)(x-14)$. Для этого приравняем выражение к нулю:
$(x-6)(x+11)(x-14) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 6$, $x_2 = -11$, $x_3 = 14$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; 6)$, $(6; 14)$ и $(14; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 15$:
$(15-6)(15+11)(15-14) = 9 \cdot 26 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах будут чередоваться:
- на $(14; +\infty)$ знак "+";
- на $(6; 14)$ знак "-";
- на $(-11; 6)$ знак "+";
- на $(-\infty; -11)$ знак "-".
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -11)$ и $(6; 14)$.
Объединяя эти интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (6; 14)$.

2) $(7-x)(x-11)(x-9)^2 \le 0$

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в первом множителе был положительным. Вынесем "-1" за скобку:
$-(x-7)(x-11)(x-9)^2 \le 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x-7)(x-11)(x-9)^2 \ge 0$
2. Найдем нули левой части:
$(x-7)(x-11)(x-9)^2 = 0$
Корнями являются $x_1 = 7$, $x_2 = 11$, $x_3 = 9$.
Обратим внимание, что корень $x=9$ имеет кратность 2 (четная).
3. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки в получившихся интервалах: $(-\infty; 7)$, $(7; 9)$, $(9; 11)$, $(11; +\infty)$.
Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=12$:
$(12-7)(12-11)(12-9)^2 = 5 \cdot 1 \cdot 3^2 > 0$. Знак "+".
Двигаясь справа налево, знаки будут чередоваться при переходе через корни нечетной кратности ($x=11$ и $x=7$) и не будут меняться при переходе через корень четной кратности ($x=9$).
- на $(11; +\infty)$ знак "+";
- на $(9; 11)$ знак "-";
- на $(7; 9)$ знак "-";
- на $(-\infty; 7)$ знак "+".
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и сами корни, так как неравенство нестрогое.
Интервалы со знаком "+": $(-\infty; 7)$ и $(11; +\infty)$.
Включаем корни $x=7$ и $x=11$ в эти интервалы: $(-\infty; 7]$ и $[11; +\infty)$.
Также, при $x=9$ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $\ge 0$. Поэтому точку $x=9$ также нужно включить в ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 7] \cup \{9\} \cup [11; +\infty)$.

3) $\frac{x}{x-4} - \frac{6}{x} - \frac{16}{x^2-4x} \ge 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$
$x \neq 0$
$x^2-4x = x(x-4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 4$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.
2. Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю $x(x-4)$:
$\frac{x \cdot x - 6(x-4) - 16}{x(x-4)} \ge 0$
3. Упростим числитель:
$\frac{x^2 - 6x + 24 - 16}{x(x-4)} \ge 0$
$\frac{x^2 - 6x + 8}{x(x-4)} \ge 0$
4. Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Тогда $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x-2)(x-4)}{x(x-4)} \ge 0$
5. Сократим дробь на $(x-4)$, учитывая ОДЗ ($x \neq 4$):
$\frac{x-2}{x} \ge 0$
6. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=2$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ - выколотой (знаменатель).
Получаем интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 2]$, $[2; +\infty)$.
Определим знаки выражения $\frac{x-2}{x}$ в интервалах:
- на $[2; +\infty)$ знак "+";
- на $(0; 2]$ знак "-";
- на $(-\infty; 0)$ знак "+".
Нам нужны интервалы со знаком "+". Это $(-\infty; 0) \cup [2; +\infty)$.
7. Учтем ОДЗ: $x \neq 4$. Точка $x=4$ попадает в промежуток $[2; +\infty)$, поэтому ее нужно исключить.
Итоговое решение: $(-\infty; 0) \cup [2; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [2; 4) \cup (4; +\infty)$.

1. При каких значениях $a$ график функции $y = ax^{-4} - 1$ проходит через точку $A \left(-3; -\frac{1}{81}\right)$?

1. Для того чтобы график функции $y = ax^{-4} - 1$ проходил через точку $A(-3; \frac{1}{81})$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что если мы подставим $x = -3$ и $y = \frac{1}{81}$ в уравнение, то получим верное равенство.

Выполним подстановку координат точки $A$ в уравнение функции:
$\frac{1}{81} = a(-3)^{-4} - 1$

Теперь необходимо решить полученное уравнение относительно переменной $a$. Сначала вычислим значение $(-3)^{-4}$:
$(-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81}$

Подставим это значение обратно в наше уравнение:
$\frac{1}{81} = a \cdot \frac{1}{81} - 1$

Для того чтобы найти $a$, сначала перенесем $-1$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный:
$\frac{1}{81} + 1 = \frac{a}{81}$

Теперь приведем слагаемые в левой части уравнения к общему знаменателю:
$\frac{1}{81} + \frac{81}{81} = \frac{a}{81}$
$\frac{1+81}{81} = \frac{a}{81}$
$\frac{82}{81} = \frac{a}{81}$

Из полученного равенства видно, что $a$ должно быть равно 82. Мы можем также умножить обе части уравнения на 81, чтобы найти $a$:
$82 = a$

Таким образом, при $a=82$ график функции проходит через заданную точку.
Ответ: 82

2. Найдите значение выражения:

1) $3\sqrt[3]{\frac{125}{64}} \cdot \sqrt[4]{\frac{256}{81}} + \sqrt[3]{-125};$

2) $\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}};$

3) $\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9};$

4) $\sqrt[3]{9-3\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{9+3\sqrt{6}}.$

1) $3\sqrt[3]{1\frac{61}{64}} \cdot \sqrt[4]{3\frac{13}{81}} + \sqrt[3]{-125}$

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{61}{64} = \frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$

$3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$

Подставим преобразованные дроби обратно в выражение:

$3\sqrt[3]{\frac{125}{64}} \cdot \sqrt[4]{\frac{256}{81}} + \sqrt[3]{-125}$

Теперь вычислим значения корней:

$\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{5}{4}$, так как $5^3=125$ и $4^3=64$.

$\sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{4}{3}$, так как $4^4=256$ и $3^4=81$.

$\sqrt[3]{-125} = -5$, так как $(-5)^3=-125$.

Подставим полученные значения в выражение:

$3 \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3} + (-5)$

Выполним умножение, сократив дроби:

$\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 4 \cdot 3} = 5$

Наконец, выполним сложение:

$5 + (-5) = 5 - 5 = 0$

Ответ: 0

2) $\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}}$

Воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}}$:

$\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{5^8} \cdot \sqrt[4]{11^4}}{\sqrt[4]{2^{16}}}$

Теперь применим свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[4]{5^8} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^2 = 25$

$\sqrt[4]{11^4} = 11^{\frac{4}{4}} = 11^1 = 11$

$\sqrt[4]{2^{16}} = 2^{\frac{16}{4}} = 2^4 = 16$

Подставим вычисленные значения обратно в дробь:

$\frac{25 \cdot 11}{16} = \frac{275}{16}$

При необходимости можно представить ответ в виде смешанной дроби: $17\frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{275}{16}$

3) $\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{375 \cdot 9}$

Для упрощения вычисления разложим подкоренные числа на простые множители:

$375 = 3 \cdot 125 = 3 \cdot 5^3$

$9 = 3^2$

Перемножим их под корнем:

$\sqrt[3]{(3 \cdot 5^3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{3^1 \cdot 3^2 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{3^{1+2} \cdot 5^3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$\sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = \sqrt[3]{15^3}$

Извлечем кубический корень:

$\sqrt[3]{15^3} = 15$

Ответ: 15

4) $\sqrt[3]{9 - 3\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt{6}}$

Так как степени корней одинаковы, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{(9 - 3\sqrt{6}) \cdot (9 + 3\sqrt{6})}$

Выражение в скобках является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a=9$ и $b=3\sqrt{6}$.

Вычислим $a^2$ и $b^2$:

$a^2 = 9^2 = 81$

$b^2 = (3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$

Теперь найдем их разность:

$a^2 - b^2 = 81 - 54 = 27$

Подставим полученное значение под знак корня:

$\sqrt[3]{27}$

Результат равен:

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3

3. Решите уравнение:

1) $125x^3 - 64 = 0;$

2) $(x + 2)^7 = -128;$

3) $(3x - 1)^4 = 625;$

4) $\sqrt[5]{x + 2} = -2;$

5) $\sqrt[6]{x - 4} = -2;$

6) $\sqrt[5]{x^4 - 113} = -2.$

1) $125x^3 - 64 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$125x^3 = 64$
Разделим обе части на 125, чтобы выразить $x^3$:
$x^3 = \frac{64}{125}$
Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[3]{\frac{64}{125}}$
$x = \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{4}{5}$

2) $(x + 2)^7 = -128$
Извлечем корень седьмой степени (нечетной степени) из обеих частей уравнения:
$x + 2 = \sqrt[7]{-128}$
Поскольку $(-2)^7 = -128$, корень равен -2:
$x + 2 = -2$
Вычтем 2 из обеих частей:
$x = -2 - 2$
$x = -4$
Ответ: $-4$

3) $(3x - 1)^4 = 625$
Извлечем корень четвертой степени (четной степени) из обеих частей. Это приведет к двум возможным случаям, так как $(\pm a)^4 = a^4$:
$3x - 1 = \pm\sqrt[4]{625}$
Поскольку $5^4 = 625$, корень равен 5:
$3x - 1 = \pm5$
Рассмотрим оба случая:
а) $3x - 1 = 5$
$3x = 6$
$x_1 = 2$
б) $3x - 1 = -5$
$3x = -4$
$x_2 = -\frac{4}{3}$
Ответ: $2; -\frac{4}{3}$

4) $\sqrt[5]{x + 2} = -2$
Возведем обе части уравнения в пятую степень, чтобы избавиться от радикала:
$(\sqrt[5]{x + 2})^5 = (-2)^5$
$x + 2 = -32$
Вычтем 2 из обеих частей:
$x = -32 - 2$
$x = -34$
Ответ: $-34$

5) $\sqrt[6]{x - 4} = -2$
Арифметический корень четной степени (в данном случае, шестой) по определению является неотрицательным числом, то есть $\sqrt[6]{x - 4} \ge 0$. Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом. Равенство невозможно.
Ответ: корней нет.

6) $\sqrt[5]{x^4 - 113} = -2$
Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$(\sqrt[5]{x^4 - 113})^5 = (-2)^5$
$x^4 - 113 = -32$
Прибавим 113 к обеим частям:
$x^4 = 113 - 32$
$x^4 = 81$
Извлечем корень четвертой степени (четной степени) из обеих частей. Это приведет к двум решениям:
$x = \pm\sqrt[4]{81}$
$x = \pm3$
Ответ: $-3; 3$

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-5} + 1$ на промежутке $[2; 3]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке необходимо найти значения функции на концах этого промежутка и в критических точках, которые принадлежат данному промежутку. Затем, сравнив полученные значения, выбрать самое большое и самое маленькое.

1. Найдём производную функции $y = x^5 + 1$:

$y' = (x^5 + 1)' = 5x^{5-1} + 0 = 5x^4$.

2. Найдём критические точки функции, приравняв производную к нулю:

$5x^4 = 0$

$x = 0$

Проверим, принадлежит ли критическая точка $x=0$ заданному промежутку $[2; 3]$. Точка $x=0$ не принадлежит этому промежутку.

Так как производная функции $y' = 5x^4$ всегда положительна при $x \in [2; 3]$, функция является строго возрастающей на этом промежутке. Следовательно, наименьшее значение она будет принимать в начале промежутка (при $x=2$), а наибольшее — в конце (при $x=3$).

3. Вычислим значения функции на концах промежутка:

При $x=2$ (наименьшее значение):

$y(2) = 2^5 + 1 = 32 + 1 = 33$.

При $x=3$ (наибольшее значение):

$y(3) = 3^5 + 1 = 243 + 1 = 244$.

Сравнив значения на концах промежутка, получаем, что наименьшее значение функции равно 33, а наибольшее — 244.

Ответ: наименьшее значение функции равно 33, наибольшее значение функции равно 244.

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt[21]{x^7}$;

2) $\sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}}$;

3) $\sqrt[22]{a^{22}}$, если $a \le 0$;

4) $\sqrt[14]{(a-12)^{14}}$, если $a \ge 12$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt[21]{x^7} $ воспользуемся свойством корня, представив его в виде степени с рациональным показателем: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $.
В нашем случае $ n=21 $ и $ m=7 $.
Получаем: $ \sqrt[21]{x^7} = x^{\frac{7}{21}} $.
Сократим дробь в показателе степени: $ \frac{7}{21} = \frac{1}{3} $.
Таким образом, выражение принимает вид $ x^{\frac{1}{3}} $.
Запишем результат обратно в виде корня: $ x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{x} $

2) Для упрощения выражения $ \sqrt[4]{x^5 \sqrt[3]{x}} $ сначала упростим подкоренное выражение. Представим $ \sqrt[3]{x} $ как $ x^{\frac{1}{3}} $.
Тогда выражение под внешним корнем будет $ x^5 \cdot x^{\frac{1}{3}} $. По свойству степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ складываем показатели: $ 5 + \frac{1}{3} = \frac{15}{3} + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} $.
Таким образом, подкоренное выражение равно $ x^{\frac{16}{3}} $.
Исходное выражение принимает вид $ \sqrt[4]{x^{\frac{16}{3}}} $.
Теперь воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{m}{n}} $.
Получаем: $ (x^{\frac{16}{3}})^{\frac{1}{4}} $. По свойству степени $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $ перемножаем показатели: $ \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} $.
Выражение равно $ x^{\frac{4}{3}} $.
Это можно записать в виде корня: $ \sqrt[3]{x^4} $.
Также можно вынести множитель из-под знака корня: $ \sqrt[3]{x^4} = \sqrt[3]{x^3 \cdot x} = \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{x} = x\sqrt[3]{x} $.
Ответ: $ x\sqrt[3]{x} $

3) Рассмотрим выражение $ \sqrt[22]{a^{22}} $ при условии, что $ a \le 0 $.
Используем свойство корня четной степени: $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $, если $ n $ — четное число.
В данном случае показатель корня $ n = 22 $ является четным, поэтому $ \sqrt[22]{a^{22}} = |a| $.
Далее, по определению модуля, если $ a \le 0 $, то $ |a| = -a $.
Следовательно, при заданном условии выражение упрощается до $ -a $.
Ответ: $ -a $

4) Рассмотрим выражение $ \sqrt[14]{(a-12)^{14}} $ при условии, что $ a \ge 12 $.
Применяем свойство корня четной степени: $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $, если $ n $ — четное число.
Показатель корня $ n = 14 $ является четным, поэтому $ \sqrt[14]{(a-12)^{14}} = |a-12| $.
Теперь используем заданное условие $ a \ge 12 $.
Из этого условия следует, что разность $ a - 12 \ge 0 $, то есть выражение под знаком модуля неотрицательно.
По определению модуля, если $ x \ge 0 $, то $ |x| = x $.
Таким образом, $ |a-12| = a-12 $.
Ответ: $ a-12 $

6. Определите графически количество решений системы уравнений

$ \begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = \frac{1}{4}x. \end{cases} $

Чтобы определить графически количество решений системы уравнений, необходимо построить графики функций, входящих в систему, в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Каждая точка пересечения соответствует одному решению системы.

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = x^3, \\ y = \frac{1}{4}x. \end{cases} $$

Первый график — это кубическая парабола $y = x^3$. Она проходит через начало координат $(0, 0)$, расположена в I и III координатных четвертях и симметрична относительно начала координат (так как функция нечётная).

Второй график — это прямая $y = \frac{1}{4}x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Прямая также расположена в I и III координатных четвертях.

Построим эскизы графиков в одной системе координат.

1. Оба графика проходят через начало координат, следовательно, точка $(0, 0)$ является одной из точек пересечения. Это означает, что $x = 0, y = 0$ — одно из решений системы.

2. При $x > 0$ (в I четверти) оба графика находятся выше оси Ox. Прямая $y = \frac{1}{4}x$ растёт медленнее, чем кубическая парабола $y = x^3$ при больших значениях $x$. Однако вблизи нуля, например, при $x = 0.1$, имеем $y = 0.1^3 = 0.001$, а для прямой $y = \frac{1}{4} \cdot 0.1 = 0.025$. То есть сначала график параболы лежит ниже прямой. Так как парабола растет быстрее, она обязательно пересечет прямую еще раз. Найдем эту точку пересечения, приравняв правые части уравнений:
$x^3 = \frac{1}{4}x$
$x^3 - \frac{1}{4}x = 0$
$x(x^2 - \frac{1}{4}) = 0$
$x(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.

3. Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ соответствует точке пересечения в I четверти. Найдем $y$: $y = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. Точка пересечения — $(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$.

4. Корень $x_3 = -\frac{1}{2}$ соответствует точке пересечения в III четверти. Так как обе функции нечётные, их графики симметричны относительно начала координат, поэтому наличие точки пересечения $(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$ гарантирует наличие симметричной ей точки $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$. Найдем $y$: $y = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$. Точка пересечения — $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$.

Таким образом, графики пересекаются в трёх точках: $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$, $(0, 0)$ и $(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$. Это означает, что система имеет три решения.

Ответ: 3.

7. Решите неравенство:

1) $ \sqrt[5]{2x-1} < -2; $

2) $ \sqrt[4]{5x-4} < 3. $

1) Дано неравенство $\sqrt[5]{2x-1} < -2$.
Так как показатель корня (5) — нечетное число, область определения подкоренного выражения не ограничена. Можно возвести обе части неравенства в 5-ю степень, при этом знак неравенства не изменится.
$(\sqrt[5]{2x-1})^5 < (-2)^5$
$2x-1 < -32$
Решим полученное линейное неравенство:
$2x < -32 + 1$
$2x < -31$
$x < -\frac{31}{2}$
$x < -15.5$
Решение в виде интервала: $(-\infty; -15.5)$.
Ответ: $(-\infty; -15.5)$

2) Дано неравенство $\sqrt[4]{5x-4} < 3$.
Так как показатель корня (4) — четное число, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$5x-4 \ge 0$
$5x \ge 4$
$x \ge \frac{4}{5}$, то есть $x \ge 0.8$.
Теперь решим само неравенство. Обе части исходного неравенства неотрицательны (корень четной степени всегда $\ge 0$, а $3 > 0$), поэтому можно возвести их в 4-ю степень, сохраняя знак неравенства:
$(\sqrt[4]{5x-4})^4 < 3^4$
$5x-4 < 81$
Решим полученное линейное неравенство:
$5x < 81 + 4$
$5x < 85$
$x < 17$
Решение неравенства должно удовлетворять ОДЗ. Найдем пересечение полученных условий, решив систему:
$\begin{cases} x \ge 0.8 \\ x < 17 \end{cases}$
Следовательно, решением является промежуток $0.8 \le x < 17$.
Ответ: $[0.8; 17)$