Страница 163 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите значение выражения

$4 \sin \frac{\pi}{3} \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) - \operatorname{ctg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{3} \operatorname{tg}\frac{\pi}{3}.$

Чтобы найти значение выражения $4\sin\frac{\pi}{3}\cos(-\frac{\pi}{6}) - \operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$, сначала воспользуемся свойствами четности и нечетности тригонометрических функций.

Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$, поэтому $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.
Функция котангенс является нечетной, то есть $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$, поэтому $\operatorname{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{4})$.

Подставив это в исходное выражение, получим:
$4\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} - (-\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}) + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = 4\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{6} + \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} + \sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим табличные значения тригонометрических функций:
$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$;
$\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Выполним вычисления:
$4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot \frac{3}{4} + 1 + 3 = 3 + 1 + 3 = 7$.

Ответ: 7

2. Определите знак выражения:

1) $\sin 181^\circ \cos(-302^\circ)\operatorname{tg} 260^\circ$;

2) $\cos \left(-\frac{5\pi}{9}\right) \operatorname{tg} \frac{7\pi}{5}$.

1) sin181°cos(-302°)tg260°
Чтобы определить знак всего выражения, определим знак каждого множителя по отдельности, используя тригонометрическую окружность.
1. Определим знак $sin181°$. Угол $181°$ находится в третьей четверти, так как $180° < 181° < 270°$. Синус в третьей четверти имеет знак минус. Следовательно, $sin181° < 0$.
2. Определим знак $cos(-302°)$. Функция косинуса является четной, поэтому $cos(-302°) = cos(302°)$. Угол $302°$ находится в четвертой четверти, так как $270° < 302° < 360°$. Косинус в четвертой четверти имеет знак плюс. Следовательно, $cos(-302°) > 0$.
3. Определим знак $tg260°$. Угол $260°$ находится в третьей четверти, так как $180° < 260° < 270°$. Тангенс в третьей четверти имеет знак плюс. Следовательно, $tg260° > 0$.
Теперь перемножим знаки: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Таким образом, все выражение имеет отрицательный знак.
Ответ: знак выражения отрицательный (минус).

2) cos($\frac{5\pi}{9}$)tg($\frac{7\pi}{5}$)
Определим знак каждого множителя.
1. Определим знак $cos(\frac{5\pi}{9})$. Чтобы определить четверть, сравним угол с $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.
$\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9}$ и $\pi = \frac{9\pi}{9}$.
Поскольку $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$, угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во второй четверти. Косинус во второй четверти имеет знак минус. Следовательно, $cos(\frac{5\pi}{9}) < 0$.
2. Определим знак $tg(\frac{7\pi}{5})$. Сравним угол с $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.
$\pi = \frac{5\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5}$.
Поскольку $\frac{5\pi}{5} < \frac{7\pi}{5} < \frac{7.5\pi}{5}$, угол $\frac{7\pi}{5}$ находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти имеет знак плюс. Следовательно, $tg(\frac{7\pi}{5}) > 0$.
Теперь перемножим знаки: $(-) \cdot (+) = (-)$.
Таким образом, все выражение имеет отрицательный знак.
Ответ: знак выражения отрицательный (минус).

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos(2x);$

2) $f(x) = \frac{\tan x - \cot x}{\cos x}.$

1)

Дана функция $f(x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x$.

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля.

2. Должно выполняться одно из равенств: $f(-x) = f(x)$ (чётная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётная функция).

Найдём область определения $D(f)$. Выражения $x^4$, $\sin^2 x$ и $\cos 2x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Теперь найдём $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в уравнение функции:

$f(-x) = (-x)^4 + 4\sin^2(-x) \cos(2(-x))$

Используем свойства чётности и нечётности составляющих функций:

- Степенная функция с чётным показателем $y=x^4$ является чётной, поэтому $(-x)^4 = x^4$.

- Функция синус является нечётной, $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.

- Функция косинус является чётной, $\cos(-u) = \cos u$, поэтому $\cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos(2x)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$f(-x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{\tg x - \ctg x}{\cos x}$.

1. Найдём область определения $D(f)$. Функция определена, если определены все входящие в неё выражения и знаменатель не равен нулю.

- $\tg x$ определён, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

- $\ctg x$ определён, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

- Знаменатель дроби $\cos x$ не равен нулю, что совпадает с первым условием.

Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x \neq \frac{\pi k}{2}$, то и $-x \neq -\frac{\pi k}{2}$.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\tg(-x) - \ctg(-x)}{\cos(-x)}$

Используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций:

- $\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная).

- $\ctg(-x) = -\ctg x$ (нечётная).

- $\cos(-x) = \cos x$ (чётная).

Подставим эти соотношения в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{-\tg x - (-\ctg x)}{\cos x} = \frac{-\tg x + \ctg x}{\cos x} = \frac{-(\tg x - \ctg x)}{\cos x} = - \frac{\tg x - \ctg x}{\cos x}$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

4. Найдите значение выражения:

1) $ \cos \frac{25\pi}{3}; $

2) $ \operatorname{ctg}(-780^{\circ}). $

1) $\cos\frac{25\pi}{3}$

Функция косинуса является периодической с периодом $2\pi$. Это означает, что $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$.
Представим дробь $\frac{25\pi}{3}$ в виде суммы целого числа периодов и остатка. Для этого выделим целую часть:
$\frac{25\pi}{3} = \frac{24\pi + \pi}{3} = \frac{24\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$.
Так как $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, мы можем отбросить полное число периодов (в данном случае 4 полных оборота):
$\cos\frac{25\pi}{3} = \cos(8\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{3}$ (или $60^\circ$) является табличным значением:
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) $\operatorname{ctg}(-780^\circ)$

Воспользуемся свойствами тригонометрических функций.
Функция котангенса является нечетной, что означает $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}(x)$.
$\operatorname{ctg}(-780^\circ) = -\operatorname{ctg}(780^\circ)$.
Функция котангенса является периодической с периодом $180^\circ$ (или, что тоже верно, $360^\circ$). Используем период $360^\circ$ для упрощения угла $780^\circ$.
Представим $780^\circ$ в виде суммы целого числа полных оборотов ($360^\circ$) и остатка:
$780^\circ = 720^\circ + 60^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 60^\circ$.
Отбрасываем полные обороты:
$\operatorname{ctg}(780^\circ) = \operatorname{ctg}(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \operatorname{ctg}(60^\circ)$.
Следовательно, исходное выражение равно:
$-\operatorname{ctg}(780^\circ) = -\operatorname{ctg}(60^\circ)$.
Значение котангенса для угла $60^\circ$ является табличным:
$\operatorname{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, окончательный результат:
$-\operatorname{ctg}(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. Сравните значения выражений:

1) $\sin \frac{16\pi}{15}$ и $\sin \frac{17\pi}{16}$;

2) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{4\pi}{7}\right)$ и $\operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{9}\right)$.

1) Сравним значения выражений $\sin\frac{16\pi}{15}$ и $\sin\frac{17\pi}{16}$.
Для начала преобразуем аргументы тригонометрических функций:
$\frac{16\pi}{15} = \pi + \frac{\pi}{15}$
$\frac{17\pi}{16} = \pi + \frac{\pi}{16}$
Оба угла находятся в третьей четверти. Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin\frac{16\pi}{15} = \sin(\pi + \frac{\pi}{15}) = -\sin\frac{\pi}{15}$
$\sin\frac{17\pi}{16} = \sin(\pi + \frac{\pi}{16}) = -\sin\frac{\pi}{16}$
Теперь задача сводится к сравнению значений $-\sin\frac{\pi}{15}$ и $-\sin\frac{\pi}{16}$. Для этого сначала сравним $\sin\frac{\pi}{15}$ и $\sin\frac{\pi}{16}$.
Сравним углы $\frac{\pi}{15}$ и $\frac{\pi}{16}$. Так как $15 < 16$, то $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{15} > \frac{\pi}{16}$.
Оба угла $\frac{\pi}{15}$ и $\frac{\pi}{16}$ принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \sin x$ возрастает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Поскольку $\frac{\pi}{15} > \frac{\pi}{16}$, то $\sin\frac{\pi}{15} > \sin\frac{\pi}{16}$.
Умножив обе части этого неравенства на $-1$, мы должны изменить знак неравенства на противоположный:
$-\sin\frac{\pi}{15} < -\sin\frac{\pi}{16}$
Возвращаясь к исходным выражениям, получаем:
$\sin\frac{16\pi}{15} < \sin\frac{17\pi}{16}$
Ответ: $\sin\frac{16\pi}{15} < \sin\frac{17\pi}{16}$.

2) Сравним значения выражений $\mathrm{ctg}(-\frac{4\pi}{7})$ и $\mathrm{ctg}(-\frac{5\pi}{9})$.
Воспользуемся свойством нечетности функции котангенс: $\mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}(x)$.
$\mathrm{ctg}(-\frac{4\pi}{7}) = -\mathrm{ctg}\frac{4\pi}{7}$
$\mathrm{ctg}(-\frac{5\pi}{9}) = -\mathrm{ctg}\frac{5\pi}{9}$
Теперь нам нужно сравнить $-\mathrm{ctg}\frac{4\pi}{7}$ и $-\mathrm{ctg}\frac{5\pi}{9}$. Для этого сначала сравним $\mathrm{ctg}\frac{4\pi}{7}$ и $\mathrm{ctg}\frac{5\pi}{9}$.
Сравним углы $\frac{4\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{9}$. Приведем дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{5}{9}$ к общему знаменателю $63$:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{36}{63}$
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{35}{63}$
Так как $36 > 35$, то $\frac{36}{63} > \frac{35}{63}$, а значит $\frac{4\pi}{7} > \frac{5\pi}{9}$.
Оба угла, $\frac{4\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{9}$, находятся во второй четверти, то есть принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. На всем интервале $(0; \pi)$ функция $y = \mathrm{ctg} x$ убывает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Поскольку $\frac{4\pi}{7} > \frac{5\pi}{9}$, то $\mathrm{ctg}(\frac{4\pi}{7}) < \mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{9})$.
Умножив обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный:
$-\mathrm{ctg}(\frac{4\pi}{7}) > -\mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{9})$
Следовательно,
$\mathrm{ctg}(-\frac{4\pi}{7}) > \mathrm{ctg}(-\frac{5\pi}{9})$
Ответ: $\mathrm{ctg}(-\frac{4\pi}{7}) > \mathrm{ctg}(-\frac{5\pi}{9})$.

6. Постройте график функции $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right)$, укажите промежутки её возрастания и убывания.

Построение графика функции $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$

График функции $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ получается из графика базовой функции $y = \cos(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{6}$ вправо.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = [-1; 1]$.
• Функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.

Для построения графика определим положение ключевых точек на одном периоде, сдвинув соответствующие точки графика $y = \cos(x)$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо:

• Точка максимума из $(0, 1)$ перемещается в $\left(0 + \frac{\pi}{6}, 1\right) = \left(\frac{\pi}{6}, 1\right)$.
• Точка пересечения с осью Ox из $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ перемещается в $\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 0\right) = \left(\frac{2\pi}{3}, 0\right)$.
• Точка минимума из $(\pi, -1)$ перемещается в $\left(\pi + \frac{\pi}{6}, -1\right) = \left(\frac{7\pi}{6}, -1\right)$.
• Точка пересечения с осью Ox из $\left(\frac{3\pi}{2}, 0\right)$ перемещается в $\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}, 0\right) = \left(\frac{5\pi}{3}, 0\right)$.
• Следующая точка максимума из $(2\pi, 1)$ перемещается в $\left(2\pi + \frac{\pi}{6}, 1\right) = \left(\frac{13\pi}{6}, 1\right)$.

Соединив эти точки плавной линией (косинусоидой) и продолжив ее периодически, получим искомый график.

Ответ: График функции $f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$ представляет собой косинусоиду, полученную сдвигом графика функции $y=\cos(x)$ на $\frac{\pi}{6}$ вправо по оси Ox.

Промежутки возрастания и убывания

Для определения промежутков монотонности функции найдем ее производную:

$f'(x) = \left(\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)' = -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right)$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x) > 0$.

$-\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) > 0 \implies \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) < 0$.

Это неравенство верно, когда аргумент синуса находится в III и IV координатных четвертях, то есть:

$\pi + 2\pi n < x - \frac{\pi}{6} < 2\pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{6}$:

$\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{13\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает на тех промежутках, где ее производная $f'(x) < 0$.

$-\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) < 0 \implies \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) > 0$.

Это неравенство верно, когда аргумент синуса находится в I и II координатных четвертях, то есть:

$2\pi n < x - \frac{\pi}{6} < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{6}$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой, концы промежутков можно включить в ответ.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $\left[\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$, и убывает на промежутках $\left[\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}$.

7. Постройте график функции $y=\sqrt{\sin 2x-1}-1$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{\sin 2x - 1}$ необходимо сначала определить ее область допустимых значений (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:

$\sin 2x - 1 \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$\sin 2x \ge 1$

Область значений функции синуса — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение $\sin 2x$ не может быть больше 1. Следовательно, единственное возможное решение неравенства — это равенство:

$\sin 2x = 1$

Теперь найдем значения $x$, для которых это равенство выполняется. Общее решение для уравнения $\sin \theta = 1$ имеет вид $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $\theta = 2x$, поэтому:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, функция определена не на непрерывном промежутке, а только в наборе изолированных точек.

Теперь найдем значение функции $y$ в этих точках. Так как во всех этих точках $\sin 2x = 1$, подставим это значение в исходную функцию:

$y = \sqrt{1 - 1} = \sqrt{0} = 0$

Это означает, что для всех допустимых значений $x$, значение $y$ всегда равно 0.

Следовательно, график данной функции представляет собой бесконечный набор точек, лежащих на оси абсцисс (оси Ox). Координаты этих точек можно найти, подставляя различные целые значения $k$ в формулу для $x$.

Примеры нескольких точек графика:

• при $k = -2: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$. Точка $(-\frac{7\pi}{4}, 0)$.
• при $k = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$. Точка $(-\frac{3\pi}{4}, 0)$.
• при $k = 0: x = \frac{\pi}{4}$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 0)$.
• при $k = 1: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. Точка $(\frac{5\pi}{4}, 0)$.
• при $k = 2: x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$. Точка $(\frac{9\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{\sin 2x - 1}$ — это множество изолированных точек, лежащих на оси Ox с координатами $(\frac{\pi}{4} + \pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число.

1. Упростите выражение:

1) $ \frac{\cos^2 6\alpha - 1}{1 - \sin^2 6\alpha} - \text{tg}12\alpha \text{ ctg}12\alpha $

2) $ \sin 8\alpha \cos 3\alpha - \cos 8\alpha \sin 3\alpha $

3) $ \frac{4\cos^2 7\alpha}{\sin 14\alpha} $;

4) $ \frac{\sin 14\alpha - \sin 10\alpha}{\cos 3\alpha - \cos 7\alpha} $;

5) $ \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) - \cos^2(\pi + 3\alpha) $;

6) $ 2\cos 8\alpha \cos 9\alpha - \cos 17\alpha $.

1) Упростим выражение $ \frac{\cos^2 6\alpha - 1}{1 - \sin^2 6\alpha} - \text{tg}12\alpha \cdot \text{ctg}12\alpha $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и свойство $ \text{tg}x \cdot \text{ctg}x = 1 $.
В числителе первой дроби: $ \cos^2 6\alpha - 1 = - (1 - \cos^2 6\alpha) = -\sin^2 6\alpha $.
В знаменателе первой дроби: $ 1 - \sin^2 6\alpha = \cos^2 6\alpha $.
Второе слагаемое: $ \text{tg}12\alpha \cdot \text{ctg}12\alpha = 1 $.
Подставляем полученные выражения обратно:
$ \frac{-\sin^2 6\alpha}{\cos^2 6\alpha} - 1 = -\left(\frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha}\right)^2 - 1 = -\text{tg}^2 6\alpha - 1 = -(1 + \text{tg}^2 6\alpha) $.
Используем тождество $ 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} $.
Получаем: $ -\frac{1}{\cos^2 6\alpha} $.
Ответ: $ -\frac{1}{\cos^2 6\alpha} $.

2) Выражение $ \sin 8\alpha \cos 3\alpha - \cos 8\alpha \sin 3\alpha $ является формулой синуса разности двух углов: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
В данном случае $ A = 8\alpha $ и $ B = 3\alpha $.
Следовательно, выражение равно $ \sin(8\alpha - 3\alpha) = \sin(5\alpha) $.
Ответ: $ \sin 5\alpha $.

3) Упростим выражение $ \frac{4\cos^2 7\alpha}{\sin 14\alpha} $.
Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $.
Применим ее к знаменателю: $ \sin 14\alpha = \sin(2 \cdot 7\alpha) = 2\sin 7\alpha \cos 7\alpha $.
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{4\cos^2 7\alpha}{2\sin 7\alpha \cos 7\alpha} $.
Сократим дробь на $ 2\cos 7\alpha $ (при условии, что $ \cos 7\alpha \neq 0 $):
$ \frac{2\cos 7\alpha}{\sin 7\alpha} = 2\text{ctg} 7\alpha $.
Ответ: $ 2\text{ctg} 7\alpha $.

4) Упростим выражение $ \frac{\sin 14\alpha - \sin 10\alpha}{\cos 3\alpha - \cos 7\alpha} $.
Для преобразования числителя и знаменателя в произведение используем формулы суммы и разности тригонометрических функций:
$ \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $
$ \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $.
Преобразуем числитель:
$ \sin 14\alpha - \sin 10\alpha = 2 \cos\frac{14\alpha+10\alpha}{2} \sin\frac{14\alpha-10\alpha}{2} = 2\cos(12\alpha)\sin(2\alpha) $.
Преобразуем знаменатель:
$ \cos 3\alpha - \cos 7\alpha = -2 \sin\frac{3\alpha+7\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-7\alpha}{2} = -2\sin(5\alpha)\sin(-2\alpha) $.
Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, то $ -2\sin(5\alpha)(-\sin(2\alpha)) = 2\sin(5\alpha)\sin(2\alpha) $.
Подставим преобразованные части в дробь:
$ \frac{2\cos(12\alpha)\sin(2\alpha)}{2\sin(5\alpha)\sin(2\alpha)} $.
Сократим на $ 2\sin(2\alpha) $ (при условии, что $ \sin(2\alpha) \neq 0 $):
$ \frac{\cos(12\alpha)}{\sin(5\alpha)} $.
Ответ: $ \frac{\cos(12\alpha)}{\sin(5\alpha)} $.

5) Упростим выражение $ \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) - \cos^2(\pi + 3\alpha) $.
Применим формулы приведения:
$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x $, следовательно $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) = \sin(3\alpha) $.
$ \cos(\pi + x) = -\cos x $, следовательно $ \cos(\pi + 3\alpha) = -\cos(3\alpha) $.
Подставляем в исходное выражение:
$ (\sin(3\alpha))^2 - (-\cos(3\alpha))^2 = \sin^2(3\alpha) - \cos^2(3\alpha) $.
Вынесем минус за скобки: $ -(\cos^2(3\alpha) - \sin^2(3\alpha)) $.
Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $.
Получаем: $ -\cos(2 \cdot 3\alpha) = -\cos(6\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(6\alpha) $.

6) Упростим выражение $ 2 \cos 8\alpha \cos 9\alpha - \cos 17\alpha $.
Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $.
В нашем случае $ A = 9\alpha $ и $ B = 8\alpha $.
$ 2 \cos 9\alpha \cos 8\alpha = \cos(9\alpha + 8\alpha) + \cos(9\alpha - 8\alpha) = \cos(17\alpha) + \cos(\alpha) $.
Подставим это в исходное выражение:
$ (\cos(17\alpha) + \cos\alpha) - \cos 17\alpha $.
Упрощаем: $ \cos 17\alpha + \cos\alpha - \cos 17\alpha = \cos\alpha $.
Ответ: $ \cos\alpha $.