Страница 165 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Вычислите:

1) $ \sin \left(\arcsin \frac{5}{8}\right); $

2) $ \cos \left(\arcsin \frac{5}{13}\right). $

1) По определению арксинуса, $\arcsin(a)$ — это угол $\alpha$, синус которого равен $a$, причем $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $. Таким образом, для любого числа $x$ из отрезка $[-1, 1]$ справедливо тождество $\sin(\arcsin x) = x$.

В данном случае $x = \frac{5}{8}$. Так как $-1 \le \frac{5}{8} \le 1$, мы можем применить это тождество.

$\sin\left(\arcsin\frac{5}{8}\right) = \frac{5}{8}$.

Ответ: $\frac{5}{8}$

2) Пусть $\alpha = \arcsin\frac{5}{13}$. По определению арксинуса, это означает, что $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ и угол $\alpha$ находится в диапазоне $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.

Нам нужно найти $\cos\left(\arcsin\frac{5}{13}\right)$, то есть $\cos\alpha$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выразим из него $\cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$

Подставим известное значение $\sin\alpha$:

$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.

Чтобы определить знак, посмотрим на диапазон угла $\alpha$. Так как $\sin\alpha = \frac{5}{13} > 0$, угол $\alpha$ находится в первой четверти, то есть $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$. Косинус в первой четверти положителен ($\cos\alpha \ge 0$), поэтому мы выбираем знак «плюс».

Следовательно, $\cos\alpha = \frac{12}{13}$.

Ответ: $\frac{12}{13}$

5. Решите уравнение $\sin 6x + \sqrt{3} \cos 6x = -2 \cos 8x$.

Исходное уравнение: $\sin(6x) + \sqrt{3}\cos(6x) = -2\cos(8x)$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin(\alpha) + b\cos(\alpha)$ можно представить в виде $R\cos(\alpha - \beta)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае $a=1$, $b=\sqrt{3}$. Найдём $R$:$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Вынесем $2$ за скобки в левой части уравнения:$2(\frac{1}{2}\sin(6x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(6x)) = -2\cos(8x)$.

Заметим, что $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения:$2(\sin(\frac{\pi}{6})\sin(6x) + \cos(\frac{\pi}{6})\cos(6x)) = -2\cos(8x)$.

Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$:$2\cos(6x - \frac{\pi}{6}) = -2\cos(8x)$.

Разделим обе части уравнения на $2$:$\cos(6x - \frac{\pi}{6}) = -\cos(8x)$.

Перенесём все слагаемые в левую часть:$\cos(6x - \frac{\pi}{6}) + \cos(8x) = 0$.

Воспользуемся формулой суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:$2\cos\frac{8x + 6x - \frac{\pi}{6}}{2} \cos\frac{8x - (6x - \frac{\pi}{6})}{2} = 0$$2\cos(7x - \frac{\pi}{12}) \cos(x + \frac{\pi}{12}) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos(7x - \frac{\pi}{12}) = 0$

$7x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$7x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{12} + \pi k$

$7x = \frac{6\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + \pi k$

$7x = \frac{7\pi}{12} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(x + \frac{\pi}{12}) = 0$

$x + \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + \pi n$

$x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

1. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4$;

2) $f(x) = (3x - 5)\sqrt{x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 + 9x}{x - 4}$;

4) $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^6}$.

1) Дана функция $f(x) = 2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций $(u \pm v)' = u' \pm v'$, правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Производная функции является суммой производных ее слагаемых:

$f'(x) = (2x^5)' - (\frac{x^3}{3})' + (3x^2)' - (4)'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

• $(2x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$
• $(\frac{x^3}{3})' = (\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x^2$
• $(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$
• $(4)' = 0$ (производная константы равна нулю)

Собираем все вместе:

$f'(x) = 10x^4 - x^2 + 6x - 0 = 10x^4 - x^2 + 6x$.

Ответ: $f'(x) = 10x^4 - x^2 + 6x$.

2) Дана функция $f(x) = (3x - 5)\sqrt{x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x - 5$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (3x - 5)' = 3$

$v'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 3 \cdot \sqrt{x} + (3x-5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Упростим выражение, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$f'(x) = \frac{3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{3x-5}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 3x - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{9x - 5}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{9x - 5}{2\sqrt{x}}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 9x}{x - 4}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть числитель $u(x) = x^2 + 9x$ и знаменатель $v(x) = x - 4$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2 + 9x)' = 2x + 9$

$v'(x) = (x - 4)' = 1$

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(2x+9)(x-4) - (x^2+9x) \cdot 1}{(x-4)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = \frac{(2x^2 - 8x + 9x - 36) - x^2 - 9x}{(x-4)^2} = \frac{2x^2 + x - 36 - x^2 - 9x}{(x-4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 36}{(x-4)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 - 8x - 36}{(x-4)^2}$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^6}$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней с отрицательными показателями, используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:

$f(x) = 2x^{-3} - 3x^{-6}$.

Теперь используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = (2x^{-3})' - (3x^{-6})' = 2 \cdot (-3)x^{-3-1} - 3 \cdot (-6)x^{-6-1}$

$f'(x) = -6x^{-4} - (-18)x^{-7} = -6x^{-4} + 18x^{-7}$.

Запишем результат с положительными степенями в знаменателе:

$f'(x) = -\frac{6}{x^4} + \frac{18}{x^7}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{6}{x^4} + \frac{18}{x^7}$.

2. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^4 - 2x$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Дана функция $f(x) = x^4 - 2x$ и точка касания с абсциссой $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке касания. Для этого подставим $x_0 = -1$ в уравнение функции:

$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1; 3)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правила дифференцирования:

$f'(x) = (x^4 - 2x)' = 4x^3 - 2$

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$. Это значение равно угловому коэффициенту касательной в данной точке:

$f'(-1) = 4(-1)^3 - 2 = 4 \cdot (-1) - 2 = -4 - 2 = -6$

4. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = 3$ и $f'(x_0) = -6$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 3 + (-6)(x - (-1))$

Теперь упростим полученное уравнение:

$y = 3 - 6(x + 1)$

$y = 3 - 6x - 6$

$y = -6x - 3$

Ответ: $y = -6x - 3$

3. Найдите производную данной функции и вычислите её значение в данной точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{3x + 1}, x_0 = 5$;

2) $f(x) = \sin^5 x, x_0 = \frac{\pi}{3}$.

1) $f(x) = \sqrt{3x + 1}, x_0 = 5;$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Представим функцию в виде $f(x) = (3x+1)^{1/2}$.

Пусть внутренняя функция $u(x) = 3x+1$, а внешняя функция $g(u) = u^{1/2}$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (3x+1)' = 3$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

По правилу производной сложной функции, $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x+1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 5$:

$f'(5) = \frac{3}{2\sqrt{3 \cdot 5 + 1}} = \frac{3}{2\sqrt{15+1}} = \frac{3}{2\sqrt{16}} = \frac{3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$; $f'(5) = \frac{3}{8}$.

2) $f(x) = \sin^5 x, x_0 = \frac{\pi}{3};$

Данная функция также является сложной. Представим её как $f(x) = (\sin x)^5$.

Пусть внутренняя функция $u(x) = \sin x$, а внешняя функция $g(u) = u^5$.

Производная внутренней функции: $u'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^5)' = 5u^4$.

Применяя цепное правило, $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$, получаем:

$f'(x) = 5(\sin x)^4 \cdot \cos x = 5\sin^4 x \cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 5\sin^4(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3})$.

Нам известны значения синуса и косинуса для данного угла: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{3}) = 5 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{(\sqrt{3})^4}{2^4} \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{45}{32}$.

Ответ: $f'(x) = 5\sin^4 x \cos x$; $f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{45}{32}$.

4. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 2,5t^2 + 24t + 7$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $s$ — в метрах). Найдите скорость движения точки в момент времени $t_0 = 3$.

Скорость движения материальной точки $v(t)$ является первой производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Это механический смысл производной.

Задан закон движения точки: $s(t) = -\frac{1}{3}t^3 + 2,5t^2 + 24t + 7$.

Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, необходимо найти производную от функции перемещения $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = \left(-\frac{1}{3}t^3 + 2,5t^2 + 24t + 7\right)'$

Применяя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = -\frac{1}{3} \cdot 3t^{3-1} + 2,5 \cdot 2t^{2-1} + 24 \cdot 1t^{1-1} + 0 = -t^2 + 5t + 24$.

Теперь найдем скорость движения точки в конкретный момент времени $t_0 = 3$, подставив это значение в полученную функцию скорости $v(t)$:

$v(3) = -(3)^2 + 5 \cdot 3 + 24 = -9 + 15 + 24 = 6 + 24 = 30$.

Так как по условию перемещение измеряется в метрах, а время в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: $30$ м/с.

5. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + 3x - 8$, если эта касательная параллельна прямой $y = 9x - 1$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, где $f'(x_0)$ — это значение производной в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной.

По условию, искомая касательная параллельна прямой $y = 9x - 1$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = 9x - 1$ равен 9. Следовательно, угловой коэффициент касательной $k = f'(x_0)$ также должен быть равен 9.

1. Найдем производную функции $f(x) = x^2 + 3x - 8$.
$f'(x) = (x^2)' + (3x)' - (8)' = 2x + 3$.

2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$.
Приравняем производную к известному угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = 9$
$2x_0 + 3 = 9$
$2x_0 = 6$
$x_0 = 3$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0$.
Для этого подставим найденное значение $x_0 = 3$ в исходную функцию $f(x)$:
$y_0 = f(3) = 3^2 + 3 \cdot 3 - 8 = 9 + 9 - 8 = 10$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(3; 10)$.

4. Составим уравнение касательной.
Мы знаем точку касания $(x_0; y_0) = (3; 10)$ и угловой коэффициент $k = 9$. Подставим эти значения в уравнение прямой $y = kx + b$ или в общую формулу уравнения касательной. Используем формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - 10 = 9(x - 3)$
$y - 10 = 9x - 27$
$y = 9x - 27 + 10$
$y = 9x - 17$.

Ответ: $y = 9x - 17$