Страница 169 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Упростите выражение

$ \left(\frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{b} - 9} + \frac{\sqrt[6]{b}}{\sqrt[3]{b} - 6\sqrt[6]{b} + 9}\right) : \frac{2\sqrt[6]{b}}{(3 - \sqrt[6]{b})^2} + \frac{3}{\sqrt[6]{b} + 3}. $

Для упрощения выражения введем замену: пусть $x = \sqrt[6]{b}$. Тогда $\sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{b})^2 = x^2$.

Исходное выражение примет вид:

$ (\frac{x}{x^2 - 9} + \frac{x}{x^2 - 6x + 9}) : \frac{2x}{(3-x)^2} + \frac{3}{x+3} $

Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата разности: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ и $x^2-6x+9 = (x-3)^2$.

$ \frac{x}{(x-3)(x+3)} + \frac{x}{(x-3)^2} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)^2(x+3)$:

$ \frac{x(x-3)}{(x-3)^2(x+3)} + \frac{x(x+3)}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{x(x-3) + x(x+3)}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{x^2 - 3x + x^2 + 3x}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{2x^2}{(x-3)^2(x+3)} $

Теперь выполним деление. Заметим, что $(3-x)^2 = (x-3)^2$.

$ \frac{2x^2}{(x-3)^2(x+3)} : \frac{2x}{(3-x)^2} = \frac{2x^2}{(x-3)^2(x+3)} \cdot \frac{(x-3)^2}{2x} $

После сокращения общих множителей $2x$ и $(x-3)^2$ получаем:

$ \frac{x}{x+3} $

Наконец, выполним сложение:

$ \frac{x}{x+3} + \frac{3}{x+3} = \frac{x+3}{x+3} = 1 $

Таким образом, значение выражения равно 1 при всех допустимых значениях $b$ (где $b>0$ и $b \ne 729$).

Ответ: 1

1. Найдите значение выражения:

1) $0,5 \cdot 64^{\frac{1}{6}};$

2) $49^{1,5};$

3) $\left(1 \frac{13}{36}\right)^{-0,5}$.

1) Чтобы найти значение выражения $0,5 \cdot 64^{\frac{1}{6}}$, сначала вычислим значение степени.
Показатель степени $\frac{1}{6}$ означает извлечение корня шестой степени. Нам нужно найти такое число, которое при возведении в шестую степень даст 64.
Известно, что $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Следовательно, $64^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64} = 2$.
Теперь выполним умножение:
$0,5 \cdot 2 = 1$.
Ответ: 1

2) Чтобы найти значение выражения $49^{1,5}$, представим десятичный показатель степени в виде обыкновенной дроби.
$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Таким образом, выражение можно переписать как $49^{\frac{3}{2}}$.
Используем свойство степени $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$49^{\frac{3}{2}} = (\sqrt[2]{49})^3 = (\sqrt{49})^3$.
Квадратный корень из 49 равен 7, так как $7^2 = 49$.
Теперь возведем 7 в третью степень:
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Ответ: 343

3) Чтобы найти значение выражения $(1\frac{13}{36})^{-0,5}$, преобразуем смешанное число и десятичную дробь в удобный для вычислений вид.
Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{13}{36} = \frac{1 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{49}{36}$.
Затем представим десятичный показатель степени в виде обыкновенной дроби:
$-0,5 = -\frac{1}{2}$.
Теперь выражение выглядит так: $(\frac{49}{36})^{-\frac{1}{2}}$.
Воспользуемся свойством отрицательной степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{49}{36})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{36}{49})^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня:
$(\frac{36}{49})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$

2. Упростите выражение:

1) $a^{4,6} \cdot a^{3,1}$;

2) $a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}} ;$

3) $(a^{-0,8})^4 \cdot (a^{-1,4})^{-2} : (a^{0,4})^{-6}$;

4) $(a^{\frac{4}{3}} b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$.

1) $a^{4,6} \cdot a^{3,1}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^{4,6} \cdot a^{3,1} = a^{4,6 + 3,1} = a^{7,7}$

Ответ: $a^{7,7}$.

2) $a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}}$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, согласно свойству $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^{\frac{8}{15}} : a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{8}{15} - (-\frac{1}{6})} = a^{\frac{8}{15} + \frac{1}{6}}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 6 это 30.

$\frac{8}{15} + \frac{1}{6} = \frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{16}{30} + \frac{5}{30} = \frac{16+5}{30} = \frac{21}{30}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{21}{30} = \frac{7}{10}$

Таким образом, выражение равно $a^{\frac{7}{10}}$.

Ответ: $a^{\frac{7}{10}}$.

3) $(a^{-0,8})^4 \cdot (a^{-1,4})^{-2} : (a^{0,4})^{-6}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Упростим каждый множитель и делитель по отдельности:

$(a^{-0,8})^4 = a^{-0,8 \cdot 4} = a^{-3,2}$

$(a^{-1,4})^{-2} = a^{-1,4 \cdot (-2)} = a^{2,8}$

$(a^{0,4})^{-6} = a^{0,4 \cdot (-6)} = a^{-2,4}$

Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение:

$a^{-3,2} \cdot a^{2,8} : a^{-2,4}$

Далее, применим свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$):

$a^{-3,2 + 2,8 - (-2,4)} = a^{-0,4 - (-2,4)} = a^{-0,4 + 2,4} = a^2$

Ответ: $a^2$.

4) $(a^{4\frac{3}{8}} b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$, чтобы раскрыть скобки:

$(a^{4\frac{3}{8}})^{\frac{4}{35}} \cdot (b^{2\frac{11}{12}})^{\frac{4}{35}}$

Затем применим свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Для этого сначала преобразуем смешанные числа в показателях степеней в неправильные дроби:

$4\frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{32+3}{8} = \frac{35}{8}$

$2\frac{11}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 11}{12} = \frac{24+11}{12} = \frac{35}{12}$

Теперь вычислим новые показатели степеней для $a$ и $b$:

Для $a$: $\frac{35}{8} \cdot \frac{4}{35} = \frac{35 \cdot 4}{8 \cdot 35} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Для $b$: $\frac{35}{12} \cdot \frac{4}{35} = \frac{35 \cdot 4}{12 \cdot 35} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Подставив новые показатели, получаем итоговое выражение:

$a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{3}}$.

3. Решите уравнение $\sqrt{15-2x} = -x$.

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{15 - 2x} = -x$.

Для решения уравнения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) или выполнить проверку полученных корней.

1. Найдём ОДЗ. Арифметический квадратный корень определён только для неотрицательных чисел, и его значение также всегда неотрицательно. Исходя из этого, составим систему неравенств:

$\begin{cases} 15 - 2x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1) $15 - 2x \ge 0 \implies 15 \ge 2x \implies x \le 7.5$

2) $-x \ge 0 \implies x \le 0$

Объединяя оба условия, получаем, что корень уравнения должен удовлетворять неравенству $x \le 0$.

2. Теперь решим само уравнение. Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{15 - 2x})^2 = (-x)^2$

$15 - 2x = x^2$

Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант.

По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-15$. Подбором находим корни:

$x_1 = 3$

$x_2 = -5$

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \le 0$).

• Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \le 0$, следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет условию $-5 \le 0$, следовательно, это является решением уравнения.

5. Выполним проверку, подставив найденный корень $x = -5$ в исходное уравнение:

$\sqrt{15 - 2(-5)} = -(-5)$

$\sqrt{15 + 10} = 5$

$\sqrt{25} = 5$

$5 = 5$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: -5

4. Сократите дробь:

1) $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m - 12m^{\frac{1}{8}}}$;

2) $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}}$;

3) $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}}$.

1) Дана дробь $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m - 12m^{\frac{1}{8}}}$. Для ее сокращения необходимо разложить числитель или знаменатель на множители. Рассмотрим знаменатель: $m - 12m^{\frac{1}{8}}$. Вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{8}}$: $m - 12m^{\frac{1}{8}} = m^1 - 12m^{\frac{1}{8}} = m^{\frac{1}{8}}(m^{1 - \frac{1}{8}} - 12) = m^{\frac{1}{8}}(m^{\frac{7}{8}} - 12)$. Теперь подставим полученное выражение в знаменатель исходной дроби: $\frac{m^{\frac{7}{8}} - 12}{m^{\frac{1}{8}}(m^{\frac{7}{8}} - 12)}$. Сократим дробь на общий множитель $(m^{\frac{7}{8}} - 12)$: $\frac{1}{m^{\frac{1}{8}}}$.
Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{1}{8}}}$

2) Дана дробь $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}}}$. Заметим, что знаменатель можно представить в виде разности квадратов, используя формулу $a^2 - d^2 = (a - d)(a + d)$. Представим знаменатель в следующем виде: $b^{\frac{1}{4}} - 25c^{\frac{1}{7}} = (b^{\frac{1}{8}})^2 - (5c^{\frac{1}{14}})^2$. Теперь разложим его на множители: $(b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})$. Подставим разложенный знаменатель в исходную дробь: $\frac{b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}}}{(b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}})(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})}$. Сократим дробь на общий множитель $(b^{\frac{1}{8}} + 5c^{\frac{1}{14}})$: $\frac{1}{b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}}}$.
Ответ: $\frac{1}{b^{\frac{1}{8}} - 5c^{\frac{1}{14}}}$

3) Дана дробь $\frac{x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}}}$. Преобразуем числитель. Он представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой $a^2 + 2ad + d^2 = (a + d)^2$. $x^{\frac{1}{3}} + 6x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}} + 9y^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 + 2 \cdot x^{\frac{1}{6}} \cdot (3y^{\frac{1}{4}}) + (3y^{\frac{1}{4}})^2 = (x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})^2$. Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. Общим множителем является $x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}$: $x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} + 3x^{\frac{1}{6}-\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}) = x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})$. Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь: $\frac{(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})^2}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})}$. Сократим дробь на общий множитель $(x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}})$: $\frac{x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}}$.
Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{6}} + 3y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{6}}y^{\frac{1}{4}}}$

5. Постройте график функции $y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9$.

Для построения графика функции $y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9$ сначала проанализируем и упростим данное выражение.

Анализ и упрощение функции

Исходная функция $y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9$. Выражение в скобках $(x-3)^{\frac{1}{9}}$ является другим способом записи корня 9-й степени: $\sqrt[9]{x-3}$.

Так как показатель корня (9) — нечетное число, корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Это значит, что переменная $x$ может принимать любые значения. Область определения функции (ОДЗ) — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим функцию, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9 = (x-3)^{\frac{1}{9} \cdot 9} = (x-3)^1 = x-3$.

В результате упрощения мы получили линейную функцию $y = x-3$. Область определения этой функции также все действительные числа. Поскольку области определения исходной и упрощенной функций совпадают, их графики будут полностью идентичны.

Построение графика

Графиком линейной функции $y = x-3$ является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой. Удобнее всего использовать точки пересечения с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого примем $x=0$:
$y = 0 - 3 = -3$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0; -3)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого примем $y=0$:
$0 = x - 3$
$x = 3$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(3; 0)$.

Теперь мы можем построить график, проведя прямую линию через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$. Эта прямая и будет являться графиком исходной функции.

Ответ: Графиком функции $y = \left((x-3)^{\frac{1}{9}}\right)^9$ является прямая линия, заданная уравнением $y = x-3$. Она проходит через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$.

6. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[6]{x+10} = 6$;

2) $\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$.

1) $\sqrt[3]{x+10} + \sqrt[6]{x+10} = 6$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку в уравнении присутствует корень четной (шестой) степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x+10 \ge 0 \implies x \ge -10$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[6]{x+10}$. Важно отметить, что $y \ge 0$, так как значение корня четной степени не может быть отрицательным.
Тогда $\sqrt[3]{x+10} = (\sqrt[6]{x+10})^2 = y^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение и получим квадратное уравнение:
$y^2 + y = 6$
$y^2 + y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-6$, а сумма равна $-1$. Это числа $-3$ и $2$.
$y_1 = -3$, $y_2 = 2$.
Согласно условию замены, $y \ge 0$. Корень $y_1 = -3$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Остается единственный корень $y_2 = 2$.

Теперь выполним обратную замену:
$\sqrt[6]{x+10} = 2$
Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[6]{x+10})^6 = 2^6$
$x+10 = 64$
$x = 54$

Полученный корень $x=54$ удовлетворяет ОДЗ ($54 \ge -10$). Выполним проверку, подставив значение в исходное уравнение:
$\sqrt[3]{54+10} + \sqrt[6]{54+10} = \sqrt[3]{64} + \sqrt[6]{64} = 4 + 2 = 6$.
$6 = 6$. Равенство верное.
Ответ: $54$.

2) $\sqrt{x+4} - \sqrt{x-1} = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge 1 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \ge 1$.

Чтобы избавиться от иррациональности, уединим один из корней и возведем обе части уравнения в квадрат:
$\sqrt{x+4} = 1 + \sqrt{x-1}$
$(\sqrt{x+4})^2 = (1 + \sqrt{x-1})^2$
$x+4 = 1^2 + 2\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2$
$x+4 = 1 + 2\sqrt{x-1} + x-1$

Упростим уравнение:
$x+4 = x + 2\sqrt{x-1}$
Приведем подобные слагаемые:
$4 = 2\sqrt{x-1}$
$2 = \sqrt{x-1}$

Снова возведем обе части в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{x-1})^2$
$4 = x-1$
$x = 5$

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($5 \ge 1$). Подставим $x=5$ в исходное уравнение:
$\sqrt{5+4} - \sqrt{5-1} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$.
$1 = 1$. Равенство верное.
Ответ: $5$.

7. Решите неравенство $\sqrt{6x - 8} > x$.

Для решения иррационального неравенства $\sqrt{6x-8} > x$ необходимо рассмотреть два случая, которые зависят от знака выражения в правой части.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$6x - 8 \ge 0$

$6x \ge 8$

$x \ge \frac{4}{3}$

Теперь рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна ($x < 0$).

В этом случае неравенство будет верным для всех $x$ из ОДЗ, так как арифметический квадратный корень (левая часть) всегда неотрицателен, а правая часть отрицательна. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного. Составим систему:

$\begin{cases} x \ge \frac{4}{3} \\ x < 0 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как промежутки $x \ge \frac{4}{3}$ и $x < 0$ не пересекаются.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна ($x \ge 0$).

При этом условии обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{6x-8})^2 > x^2$

$6x - 8 > x^2$

Приведем неравенство к стандартному виду:

$x^2 - 6x + 8 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - 6x + 8$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции отрицательны между корнями. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 6x + 8 < 0$ есть интервал $(2, 4)$.

Теперь необходимо учесть все условия для этого случая: ОДЗ ($x \ge \frac{4}{3}$), условие неотрицательности правой части ($x \ge 0$) и полученное решение ($2 < x < 4$). Составим систему:

$\begin{cases} x \ge \frac{4}{3} \\ x \ge 0 \\ 2 < x < 4 \end{cases}$

Пересечением этих трех множеств является интервал $(2, 4)$, так как $2 > \frac{4}{3}$ и $2 > 0$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях. Поскольку в первом случае решений нет, итоговым решением будет решение из второго случая.

Ответ: $x \in (2, 4)$.

1. Найдите значение выражения

$4\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{3\pi}{2} - \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}$

Для того чтобы найти значение выражения, необходимо вычислить значения тригонометрических функций для заданных углов и подставить их в исходное выражение.

Исходное выражение: $4\sin(-\frac{\pi}{6})\cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{3\pi}{2} - \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}$.

Вычислим значения каждой тригонометрической функции:

1. $\sin(-\frac{\pi}{6})$. Функция синус является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin(x)$.
$\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

2. $\cos(\frac{\pi}{3})$. Это табличное значение.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.

3. $\cos(\frac{3\pi}{2})$. Это табличное значение.
$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$.

4. $\cos(\frac{\pi}{4})$. Это табличное значение.
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} + 0 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисления по действиям:

1. $4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot (-\frac{1}{4}) = -1$.

2. $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Подставим результаты обратно в выражение:

$-1 + 0 - 1 = -2$.

Ответ: $-2$.