Страница 171 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Дано: $tg \alpha = 1,25$, $tg \beta = 9$, $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Найдите $\alpha + \beta$.

Для нахождения суммы углов $\alpha + \beta$ воспользуемся формулой тангенса суммы:
$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha \cdot tg\beta}$
Подставим в формулу заданные значения $tg\alpha = 1,25$ и $tg\beta = 9$. Представим десятичную дробь $1,25$ в виде обыкновенной для удобства вычислений: $1,25 = \frac{5}{4}$.
$tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{5}{4} + 9}{1 - \frac{5}{4} \cdot 9} = \frac{\frac{5+36}{4}}{1 - \frac{45}{4}} = \frac{\frac{41}{4}}{\frac{4-45}{4}} = \frac{\frac{41}{4}}{-\frac{41}{4}} = -1$
Теперь определим, в какой четверти лежит угол $\alpha + \beta$. По условию даны ограничения для углов $\alpha$ и $\beta$:
$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
$0 < \beta < \frac{\pi}{2}$
Сложим эти неравенства, чтобы найти возможный диапазон для их суммы:
$0 + 0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$0 < \alpha + \beta < \pi$
Это означает, что угол $\alpha + \beta$ находится в I или II координатной четверти.
Поскольку мы получили, что $tg(\alpha + \beta) = -1$ (отрицательное значение), угол $\alpha + \beta$ может находиться только во II четверти.
Найдем угол в интервале $(0, \pi)$, тангенс которого равен $-1$. Этим углом является $\frac{3\pi}{4}$.
Таким образом, $\alpha + \beta = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

3. Докажите тождество:

1) $1 + \text{tg } 5\beta \text{ tg } 10\beta = \frac{1}{\cos 10\beta}$;

2) $\frac{(\cos(2\pi + 6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2} - 8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2} + 8\alpha) - \sin(\pi - 6\alpha))}{1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)} = \sin 14\alpha.$

1) Докажем тождество $1 + \text{tg } 5\beta \text{ tg } 10\beta = \frac{1}{\cos 10\beta}$.

Преобразуем левую часть равенства, выразив тангенсы через синусы и косинусы по формуле $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$1 + \text{tg } 5\beta \text{ tg } 10\beta = 1 + \frac{\sin 5\beta}{\cos 5\beta} \cdot \frac{\sin 10\beta}{\cos 10\beta}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos 5\beta \cos 10\beta$:

$1 + \frac{\sin 5\beta \sin 10\beta}{\cos 5\beta \cos 10\beta} = \frac{\cos 5\beta \cos 10\beta + \sin 5\beta \sin 10\beta}{\cos 5\beta \cos 10\beta}$

В числителе получилась формула косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$. Применим ее, взяв $\alpha = 10\beta$ и $\beta = 5\beta$:

$\frac{\cos(10\beta - 5\beta)}{\cos 5\beta \cos 10\beta} = \frac{\cos 5\beta}{\cos 5\beta \cos 10\beta}$

Сократим дробь на $\cos 5\beta$ (при условии, что $\cos 5\beta \neq 0$):

$\frac{1}{\cos 10\beta}$

Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{(\cos(2\pi + 6\alpha) - \sin(\frac{\pi}{2} - 8\alpha))(\cos(\frac{3\pi}{2} + 8\alpha) - \sin(\pi - 6\alpha))}{1 + \sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)} = \sin 14\alpha$.

Упростим левую часть выражения, используя формулы приведения.

Упростим числитель:

$\cos(2\pi + 6\alpha) = \cos 6\alpha$ (в силу периодичности косинуса)

$\sin(\frac{\pi}{2} - 8\alpha) = \cos 8\alpha$ (формула приведения для кофункции)

$\cos(\frac{3\pi}{2} + 8\alpha) = \sin 8\alpha$ (угол в IV четверти, косинус положителен)

$\sin(\pi - 6\alpha) = \sin 6\alpha$ (угол во II четверти, синус положителен)

Упростим знаменатель:

$\sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -\cos 2\alpha$ (угол в III четверти, синус отрицателен)

Подставим упрощенные выражения обратно в левую часть:

$\frac{(\cos 6\alpha - \cos 8\alpha)(\sin 8\alpha - \sin 6\alpha)}{1 + (-\cos 2\alpha)} = \frac{(\cos 6\alpha - \cos 8\alpha)(\sin 8\alpha - \sin 6\alpha)}{1 - \cos 2\alpha}$

Применим формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение:

$\cos 6\alpha - \cos 8\alpha = -2 \sin(\frac{6\alpha+8\alpha}{2}) \sin(\frac{6\alpha-8\alpha}{2}) = -2 \sin(7\alpha) \sin(-\alpha) = 2 \sin(7\alpha) \sin\alpha$

$\sin 8\alpha - \sin 6\alpha = 2 \cos(\frac{8\alpha+6\alpha}{2}) \sin(\frac{8\alpha-6\alpha}{2}) = 2 \cos(7\alpha) \sin\alpha$

Числитель примет вид:

$(2 \sin(7\alpha) \sin\alpha) \cdot (2 \cos(7\alpha) \sin\alpha) = 4 \sin(7\alpha) \cos(7\alpha) \sin^2\alpha$

Преобразуем знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$:

$1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2\alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{4 \sin(7\alpha) \cos(7\alpha) \sin^2\alpha}{2 \sin^2\alpha}$

Сократим на $2 \sin^2\alpha$ (при условии, что $\sin\alpha \neq 0$):

$2 \sin(7\alpha) \cos(7\alpha)$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin(7\alpha) \cos(7\alpha) = \sin(2 \cdot 7\alpha) = \sin(14\alpha)$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения $3\sin 2\alpha \operatorname{tg} \alpha - 2$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений выражения $3\sin2\alpha\operatorname{tg}\alpha - 2$ сначала упростим его и определим область допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ: выражение содержит $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, поэтому необходимо, чтобы $\cos\alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим выражение, используя формулу синуса двойного угла $\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$3\sin2\alpha\operatorname{tg}\alpha - 2 = 3(2\sin\alpha\cos\alpha)\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right) - 2$

Так как по ОДЗ $\cos\alpha \neq 0$, мы можем его сократить:

$6\sin\alpha\sin\alpha - 2 = 6\sin^2\alpha - 2$

Теперь задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $f(\alpha) = 6\sin^2\alpha - 2$ при условии $\cos\alpha \neq 0$.

Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что условие $\cos\alpha \neq 0$ равносильно условию $\sin^2\alpha \neq 1$.

В общем случае $0 \le \sin^2\alpha \le 1$. С учетом нашего ограничения, множество значений для $\sin^2\alpha$ есть полуинтервал $[0, 1)$.

Пусть $t = \sin^2\alpha$, тогда $t \in [0, 1)$. Рассмотрим функцию $y(t) = 6t - 2$.

Наименьшее значение

Функция $y(t) = 6t - 2$ является линейной и возрастающей. Ее наименьшее значение на полуинтервале $[0, 1)$ достигается в левой границе, то есть при $t=0$.

$y_{min} = 6 \cdot 0 - 2 = -2$.

Это значение достигается, когда $\sin^2\alpha = 0$, например, при $\alpha=0$. В этом случае $\cos0 = 1 \neq 0$, что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -2.

Наибольшее значение

Так как функция $y(t) = 6t - 2$ возрастающая, ее значения увеличиваются при приближении $t$ к 1. Однако, поскольку $t$ не может быть равно 1 ($t<1$), то и функция не может достигнуть своего значения в этой точке. Значение функции стремится к $6 \cdot 1 - 2 = 4$, но никогда его не достигает.

Число 4 является точной верхней гранью (супремумом) множества значений выражения, но не его наибольшим значением. Следовательно, наибольшего значения у данного выражения не существует.

Ответ: не существует.

1. Решите уравнение:

1) $\cos \left(\frac{x}{8}+\frac{\pi}{4}\right)=1;$

2) $\sin \left(6 x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2};$

3) $\operatorname{ctg}^{2} 5 x-\operatorname{ctg} 5 x=0.$

1) Исходное уравнение: $cos(\frac{x}{8} + \frac{\pi}{4}) = 1$.
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение уравнения вида $cos(t) = 1$ записывается формулой $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном уравнении $t = \frac{x}{8} + \frac{\pi}{4}$.
Приравняем аргумент косинуса к $2\pi k$:
$\frac{x}{8} + \frac{\pi}{4} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим переменную $x$:
$\frac{x}{8} = 2\pi k - \frac{\pi}{4}$
Умножим обе части уравнения на 8:
$x = 8 \cdot (2\pi k - \frac{\pi}{4})$
$x = 16\pi k - \frac{8\pi}{4}$
$x = 16\pi k - 2\pi$
Ответ: $x = -2\pi + 16\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $sin(6x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Общее решение уравнения вида $sin(t) = a$ (при $|a| \le 1$) имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 6x - \frac{\pi}{6}$ и $a = \frac{1}{2}$.
Находим значение арксинуса: $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Подставляем это значение в общую формулу решения:
$6x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$:
$6x = \frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{1}{6} \cdot (\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n)$
$x = \frac{\pi}{36} + (-1)^n \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}$
Этот ответ можно также представить в виде двух серий корней, рассмотрев случаи для четных и нечетных $n$.
а) Для четных $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$.
б) Для нечетных $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{36} + (-1)^n \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $ctg^2 5x - ctg 5x = 0$.
Это уравнение можно решить, вынеся общий множитель за скобки. Вынесем $ctg 5x$:
$ctg 5x (ctg 5x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум отдельным уравнениям:
а) $ctg 5x = 0$
Решением этого уравнения является серия корней:
$5x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
б) $ctg 5x - 1 = 0 \implies ctg 5x = 1$
Решением этого уравнения является серия корней:
$5x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Оба набора решений входят в область допустимых значений котангенса ($5x \neq \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$).
Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$; $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi k}{5}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2. Решите неравенство:

1) $\sin 7x \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$;

2) $\text{tg}\left(\frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}\right) < -\sqrt{3}$.

1) Решим неравенство $\sin{7x} \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сделаем замену $t = 7x$. Неравенство примет вид $\sin{t} \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала найдем корни уравнения $\sin{t} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. На промежутке $[0, 2\pi]$ это $t_1 = \frac{\pi}{3}$ и $t_2 = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
На единичной окружности значения синуса соответствуют ординате (координате y). Нас интересуют точки, у которых ордината больше или равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дуга, заключенная между углами $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.
Таким образом, решение для $t$ с учетом периодичности функции синуса ($2\pi$):
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь выполним обратную замену $t = 7x$:
$\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 7x \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.
Разделим все части двойного неравенства на 7:
$\frac{\pi}{21} + \frac{2\pi k}{7} \le x \le \frac{2\pi}{21} + \frac{2\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left[\frac{\pi}{21} + \frac{2\pi k}{7}; \frac{2\pi}{21} + \frac{2\pi k}{7}\right], k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\tg\left(\frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}\right) < -\sqrt{3}$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\tg{t} < -\sqrt{3}$.
Найдем значение $t$, для которого $\tg{t} = -\sqrt{3}$. Главное значение $t = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Функция тангенса является возрастающей на каждом интервале своей области определения $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$.
Следовательно, неравенство $\tg{t} < -\sqrt{3}$ выполняется на интервалах, левая граница которых - вертикальная асимптота $-\frac{\pi}{2}$, а правая - корень уравнения $-\frac{\pi}{3}$.
Решение для $t$ с учетом периодичности функции тангенса ($\pi$):
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < t < -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Выполним обратную замену $t = \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi k < \frac{x}{7} - \frac{5\pi}{6} < -\frac{\pi}{3} + \pi k$.
Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{5\pi}{6}$:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < -\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + \pi k$.
Упростим левую и правую части:
$-\frac{3\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < -\frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \pi k$.
$\frac{2\pi}{6} + \pi k < \frac{x}{7} < \frac{3\pi}{6} + \pi k$.
$\frac{\pi}{3} + \pi k < \frac{x}{7} < \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Умножим все части неравенства на 7:
$\frac{7\pi}{3} + 7\pi k < x < \frac{7\pi}{2} + 7\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x \in \left(\frac{7\pi}{3} + 7\pi k; \frac{7\pi}{2} + 7\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

3. Решите уравнение:

1) $4\sin^2 x - 8\cos x + 1 = 0;$

2) $2\cos^2 2x - 2\sin 4x + 1 = 0;$

3) $\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0.$

1) $4\sin^2 x - 8\cos x + 1 = 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4(1 - \cos^2 x) - 8\cos x + 1 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4 - 4\cos^2 x - 8\cos x + 1 = 0$

$-4\cos^2 x - 8\cos x + 5 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$4\cos^2 x + 8\cos x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$, при этом необходимо учесть, что $-1 \le t \le 1$. Уравнение примет вид:

$4t^2 + 8t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$

Теперь вернемся к замене $t = \cos x$ и рассмотрим два случая:

1. $\cos x = \frac{1}{2}$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$. Решения этого уравнения:

$x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in Z$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$

2. $\cos x = -\frac{5}{2} = -2.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.

2) $2\cos^2 2x - 2\sin 4x + 1 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла в виде $1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha$. В нашем случае $\alpha = 2x$, тогда $2\cos^2 2x = 1 + \cos(4x)$. Подставим это в уравнение:

$(1 + \cos 4x) - 2\sin 4x + 1 = 0$

$\cos 4x - 2\sin 4x + 2 = 0$

Применим универсальную тригонометрическую подстановку. Пусть $t = \tan(2x)$. Тогда $\cos 4x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ и $\sin 4x = \frac{2t}{1+t^2}$.

$\frac{1-t^2}{1+t^2} - 2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right) + 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $1+t^2$ (это выражение всегда положительно):

$(1-t^2) - 4t + 2(1+t^2) = 0$

$1 - t^2 - 4t + 2 + 2t^2 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Вернемся к замене $t = \tan(2x)$:

1. $\tan(2x) = 1$

$2x = \arctan(1) + \pi n, n \in Z$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$

2. $\tan(2x) = 3$

$2x = \arctan(3) + \pi n, n \in Z$

$x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, x = \frac{1}{2}\arctan(3) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$.

3) $\cos 7x + \cos 8x + \cos 9x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим к ним формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$(\cos 9x + \cos 7x) + \cos 8x = 0$

$2\cos\frac{9x+7x}{2}\cos\frac{9x-7x}{2} + \cos 8x = 0$

$2\cos(8x)\cos(x) + \cos 8x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 8x$ за скобки:

$\cos 8x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1. $\cos 8x = 0$

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in Z$

2. $2\cos x + 1 = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \pm\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in Z$

$x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in Z$.

4. Вычислите:

1) $\cos \left(\arccos \frac{2}{5}\right)$;

2) $\sin \left(\arccos \frac{8}{17}\right)$.

1) cos(arccos(2/5))

По определению арккосинуса, $arccos(a)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

В общем виде, для любого $x$, принадлежащего отрезку $[-1; 1]$, справедливо тождество:

$cos(arccos(x)) = x$

В данном случае $x = \frac{2}{5}$. Поскольку $-1 \le \frac{2}{5} \le 1$, мы можем применить это тождество.

Следовательно, $cos(arccos(\frac{2}{5})) = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$.

2) sin(arccos(8/17))

Пусть $\alpha = arccos(\frac{8}{17})$. По определению арккосинуса, это означает, что $cos(\alpha) = \frac{8}{17}$ и угол $\alpha$ находится в промежутке $[0; \pi]$.

Нам необходимо найти $sin(\alpha)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$

Выразим из него $sin(\alpha)$:

$sin^2(\alpha) = 1 - cos^2(\alpha)$

$sin(\alpha) = \pm \sqrt{1 - cos^2(\alpha)}$

Так как $\alpha$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$, значение $sin(\alpha)$ на этом промежутке неотрицательно ($sin(\alpha) \ge 0$). Поэтому мы выбираем знак "плюс".

$sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)}$

Теперь подставим известное значение $cos(\alpha) = \frac{8}{17}$ в формулу:

$sin(arccos(\frac{8}{17})) = \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{289 - 64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$sin(arccos(\frac{8}{17})) = \frac{15}{17}$

Ответ: $\frac{15}{17}$.

5. Решите уравнение

$ \sin 10x + \cos 10x = -\sqrt{2} \sin 8x. $

Преобразуем левую часть уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a\sin\alpha + b\cos\alpha$ можно свернуть по формуле $ \sqrt{a^2+b^2} \sin(\alpha + \varphi) $, где $ \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} $ и $ \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $.

Для выражения $ \sin(10x) + \cos(10x) $ имеем $a=1$ и $b=1$. Тогда $ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.

Получаем:

$ \sin(10x) + \cos(10x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(10x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(10x)\right) $

Так как $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} $, можем записать:

$ \sqrt{2}\left(\sin(10x)\cos\frac{\pi}{4} + \cos(10x)\sin\frac{\pi}{4}\right) $

Используя формулу синуса суммы $ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sqrt{2}\sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) $

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$ \sqrt{2}\sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}\sin(8x) $

Разделим обе части на $ \sqrt{2} $:

$ \sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin(8x) $

Используя свойство нечетности функции синус, $ -\sin\alpha = \sin(-\alpha) $, перепишем уравнение:

$ \sin\left(10x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin(-8x) $

Равенство синусов $ \sin A = \sin B $ выполняется в двух случаях:

1) $ A = B + 2\pi k $, где $k \in \mathbb{Z}$

$ 10x + \frac{\pi}{4} = -8x + 2\pi k $

$ 18x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{72} + \frac{2\pi k}{18} $

$ x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2) $ A = \pi - B + 2\pi n $, где $n \in \mathbb{Z}$

$ 10x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-8x) + 2\pi n $

$ 10x + \frac{\pi}{4} = \pi + 8x + 2\pi n $

$ 2x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n $

$ 2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

$ x = \frac{3\pi}{8} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{72} + \frac{\pi k}{9}; \quad x = \frac{3\pi}{8} + \pi n, $ где $k, n \in \mathbb{Z}$.