Страница 173 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Сравните $\sqrt[8]{8\sqrt{5}}$ и $\sqrt[4]{3\sqrt{2}}$.

Чтобы сравнить числа $\sqrt[8]{8\sqrt{5}}$ и $\sqrt[4]{3\sqrt{2}}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное показателей 8 и 4 равно 8. Таким образом, нам нужно представить оба числа в виде корней 8-й степени.

Первое число, $\sqrt[8]{8\sqrt{5}}$, уже представлено в нужном виде.

Преобразуем второе число, $\sqrt[4]{3\sqrt{2}}$, к корню 8-й степени. Для этого воспользуемся свойством корней $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot m]{a^m}$. В нашем случае $n=4$, $m=2$:

$\sqrt[4]{3\sqrt{2}} = \sqrt[4 \cdot 2]{(3\sqrt{2})^2} = \sqrt[8]{3^2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \sqrt[8]{9 \cdot 2} = \sqrt[8]{18}$

Теперь сравнение исходных чисел сводится к сравнению $\sqrt[8]{8\sqrt{5}}$ и $\sqrt[8]{18}$. Так как функция $y=\sqrt[8]{x}$ является возрастающей для $x>0$, для сравнения корней достаточно сравнить их подкоренные выражения: $8\sqrt{5}$ и $18$.

Чтобы сравнить $8\sqrt{5}$ и $18$, возведем оба положительных числа в квадрат. Знак неравенства при этом не изменится.

$(8\sqrt{5})^2 = 8^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 64 \cdot 5 = 320$

$18^2 = 324$

Поскольку $320 < 324$, то и $8\sqrt{5} < 18$.

Следовательно, $\sqrt[8]{8\sqrt{5}} < \sqrt[8]{18}$, а значит, $\sqrt[8]{8\sqrt{5}} < \sqrt[4]{3\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt[8]{8\sqrt{5}} < \sqrt[4]{3\sqrt{2}}$

2. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}}$

Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5} \ge 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя:

$x^2 - 16 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Эти точки войдут в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

2. Найдем корни знаменателя:

$-x^2 + 6x - 5 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни:

$x_3 = 1$, $x_4 = 5$

Эти точки не войдут в решение (будут "выколотыми"), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Теперь перепишем исходное неравенство, разложив числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 1)(x - 5)} \ge 0$

Чтобы избавиться от знака "минус" в знаменателе, умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 1)(x - 5)} \le 0$

Отметим найденные корни на числовой прямой: -4, 1, 4, 5. Точки -4 и 4 будут закрашенными, а точки 1 и 5 — выколотыми.

Определим знак выражения в каждом из полученных интервалов:

• При $x \in (5, +\infty)$, например $x=6$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $x \in (4, 5)$, например $x=4.5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$
• При $x \in (1, 4)$, например $x=2$: $\frac{(-)(+)}{(+)(-)} > 0$
• При $x \in (-4, 1)$, например $x=0$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$
• При $x \in (-\infty, -4)$, например $x=-5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы, где стоит знак "минус", включая закрашенные точки.

Получаем два промежутка: $[-4, 1)$ и $[4, 5)$.

Объединение этих промежутков является областью определения функции.

Ответ: $x \in [-4, 1) \cup [4, 5)$.

3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3x+1} = x-1;$

2) $\sin 3x - 6 \cos 3x = 0;$

3) $\cos 8x + 7 \sin 4x - 6 = 0.$

1) Решим иррациональное уравнение $ \sqrt{3x + 1} = x - 1 $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.
$ \begin{cases} 3x + 1 \ge 0 \\ x - 1 \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x \ge -1 \\ x \ge 1 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 1 \end{cases} $
Отсюда следует, что ОДЗ: $ x \ge 1 $.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
$ (\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2 $
$ 3x + 1 = x^2 - 2x + 1 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$ x^2 - 2x - 3x + 1 - 1 = 0 $
$ x^2 - 5x = 0 $
Вынесем $x$ за скобки:
$ x(x - 5) = 0 $
Получаем два возможных корня:
$ x_1 = 0 $ или $ x_2 = 5 $.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \ge 1 $):
$ x_1 = 0 $ не удовлетворяет условию $ x \ge 1 $, следовательно, это посторонний корень.
$ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ x \ge 1 $.
Выполним проверку подстановкой $ x = 5 $ в исходное уравнение:
$ \sqrt{3 \cdot 5 + 1} = 5 - 1 $
$ \sqrt{16} = 4 $
$ 4 = 4 $
Равенство верное. Таким образом, уравнение имеет один корень.
Ответ: $5$.

2) Решим тригонометрическое уравнение $ \sin3x - 6\cos3x = 0 $.
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части на $ \cos3x $.
Отметим, что $ \cos3x \neq 0 $, так как если $ \cos3x = 0 $, то из уравнения следует, что и $ \sin3x = 0 $. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как нарушается основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Разделим уравнение на $ \cos3x $:
$ \frac{\sin3x}{\cos3x} - \frac{6\cos3x}{\cos3x} = 0 $
$ \tan3x - 6 = 0 $
$ \tan3x = 6 $
Найдем $3x$:
$ 3x = \arctan(6) + \pi n, n \in Z $
Теперь найдем $x$:
$ x = \frac{\arctan(6)}{3} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $
Ответ: $ \frac{\arctan(6)}{3} + \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

3) Решим тригонометрическое уравнение $ \cos8x + 7\sin4x - 6 = 0 $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha $. В нашем случае $ \alpha = 4x $, поэтому $ \cos8x = \cos(2 \cdot 4x) = 1 - 2\sin^24x $.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ (1 - 2\sin^24x) + 7\sin4x - 6 = 0 $
$ -2\sin^24x + 7\sin4x - 5 = 0 $
Умножим обе части на -1, чтобы сделать коэффициент при старшем члене положительным:
$ 2\sin^24x - 7\sin4x + 5 = 0 $
Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin4x $. Так как область значений синуса от -1 до 1, то $ -1 \le t \le 1 $.
Уравнение примет вид квадратного уравнения:
$ 2t^2 - 7t + 5 = 0 $
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 $.
$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 3}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 $
$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 3}{4} = \frac{4}{4} = 1 $
Теперь вернемся к замене и проверим корни на соответствие условию $ -1 \le t \le 1 $.
$ t_1 = 2.5 $ не удовлетворяет условию, так как $ 2.5 > 1 $. Следовательно, уравнение $ \sin4x = 2.5 $ не имеет решений.
$ t_2 = 1 $ удовлетворяет условию.
Решим уравнение $ \sin4x = 1 $.
Это частный случай, решение которого имеет вид:
$ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z $
Найдем $x$:
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $
Ответ: $ \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $.

4. Докажите тождество

$(\frac{\cos 7\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\sin 7\alpha}{\cos 3\alpha}) \cdot \frac{\cos 7\alpha - \cos 5\alpha}{\cos 4\alpha} = -4 \sin \alpha.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$\frac{\cos(7\alpha)}{\sin(3\alpha)} + \frac{\sin(7\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \frac{\cos(7\alpha)\cos(3\alpha) + \sin(7\alpha)\sin(3\alpha)}{\sin(3\alpha)\cos(3\alpha)}$

В числителе полученной дроби применим формулу косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

$\cos(7\alpha)\cos(3\alpha) + \sin(7\alpha)\sin(3\alpha) = \cos(7\alpha - 3\alpha) = \cos(4\alpha)$

В знаменателе применим формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.

$\sin(3\alpha)\cos(3\alpha) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2} \sin(6\alpha)$

Таким образом, первый множитель (выражение в скобках) равен:

$\frac{\cos(4\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(6\alpha)} = \frac{2\cos(4\alpha)}{\sin(6\alpha)}$

Теперь преобразуем второй множитель $\frac{\cos(7\alpha) - \cos(5\alpha)}{\cos(4\alpha)}$. Для числителя используем формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$.

$\cos(7\alpha) - \cos(5\alpha) = -2\sin(\frac{7\alpha+5\alpha}{2})\sin(\frac{7\alpha-5\alpha}{2}) = -2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)$

Следовательно, второй множитель равен:

$\frac{-2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(4\alpha)}$

Перемножим преобразованные выражения:

$(\frac{2\cos(4\alpha)}{\sin(6\alpha)}) \cdot (\frac{-2\sin(6\alpha)\sin(\alpha)}{\cos(4\alpha)})$

Сократим общие множители $\cos(4\alpha)$ и $\sin(6\alpha)$ в числителе и знаменателе:

$2 \cdot (-2\sin(\alpha)) = -4\sin(\alpha)$

В результате преобразования левая часть тождества оказалась равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5. Решите неравенство $\sqrt{4-3x} < x+2$.

Исходное неравенство $\sqrt{4 - 3x} < x + 2$ является иррациональным. Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases}$

Первое условие, $4 - 3x \ge 0$, обеспечивает существование квадратного корня (область допустимых значений).
Второе условие, $x + 2 > 0$, необходимо, так как неотрицательная величина (значение корня) может быть строго меньше только положительной величины.
При выполнении этих условий обе части неравенства неотрицательны, и его можно возводить в квадрат, не меняя знака.

Составим и решим соответствующую систему для нашего неравенства:
$\begin{cases} 4 - 3x \ge 0 \\ x + 2 > 0 \\ 4 - 3x < (x + 2)^2 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы по отдельности:
1) $4 - 3x \ge 0 \implies -3x \ge -4 \implies 3x \le 4 \implies x \le \frac{4}{3}$.
2) $x + 2 > 0 \implies x > -2$.
3) $4 - 3x < (x + 2)^2 \implies 4 - 3x < x^2 + 4x + 4 \implies 0 < x^2 + 7x \implies x(x+7) > 0$.
Для решения квадратного неравенства $x(x+7) > 0$ найдем корни соответствующего уравнения $x(x+7)=0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=-7$. Поскольку ветви параболы $y=x^2+7x$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями, то есть $x \in (-\infty, -7) \cup (0, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств:
$\begin{cases} x \le \frac{4}{3} \\ x > -2 \\ x \in (-\infty, -7) \cup (0, \infty) \end{cases}$
Из первых двух неравенств следует, что $x$ принадлежит полуинтервалу $(-2, \frac{4}{3}]$.
Теперь найдем пересечение этого полуинтервала с решением третьего неравенства: $(-2, \frac{4}{3}] \cap ((-\infty, -7) \cup (0, \infty))$.
Это пересечение соответствует интервалу $(0, \frac{4}{3}]$.

Ответ: $x \in (0, \frac{4}{3}]$

6. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 0.5x^2$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 0,5x^2$ по стандартному алгоритму.

1. Область определения

Функция $f(x)$ является многочленом, который определен для всех действительных значений $x$.

Ответ: Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Проверим функцию на четность и нечетность. Для этого найдем $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^3 - 0,5(-x)^2 = -x^3 - 0,5x^2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -x^3 - 0,5x^2 \neq f(x) = x^3 - 0,5x^2$

$f(-x) = -x^3 - 0,5x^2 \neq -f(x) = -(x^3 - 0,5x^2) = -x^3 + 0,5x^2$

Поскольку условия $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$ не выполняются, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:

Для нахождения точки пересечения с осью ординат, подставим $x=0$ в уравнение функции:

$f(0) = 0^3 - 0,5 \cdot 0^2 = 0$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.

С осью Ox:

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $f(x)=0$:

$x^3 - 0,5x^2 = 0$

$x^2(x - 0,5) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 0,5$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(0,5; 0)$.

Ответ: Точки пересечения с осями: $(0, 0)$ и $(0,5; 0)$.

4. Асимптоты

Вертикальные асимптоты:

Так как функция является многочленом и определена на всей числовой оси, вертикальные асимптоты отсутствуют.

Горизонтальные и наклонные асимптоты:

Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 0,5x^2) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 - \frac{0,5}{x}) = +\infty$

$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 0,5x^2) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 - \frac{0,5}{x}) = -\infty$

Так как пределы бесконечны, горизонтальные асимптоты отсутствуют. Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx + b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 0,5x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 0,5x) = +\infty$

Так как предел $k$ не является конечным числом, наклонные асимптоты также отсутствуют.

Ответ: Асимптоты у графика функции отсутствуют.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Найдем первую производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 0,5x^2)' = 3x^2 - x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$3x^2 - x = 0$

$x(3x - 1) = 0$

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{3}$.

Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$, $f'(-1) = 3(-1)^2 - (-1) = 4 > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, \frac{1}{3})$, например $x=0,1$, $f'(0,1) = 3(0,1)^2 - 0,1 = 0,03 - 0,1 = -0,07 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$, например $x=1$, $f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2 > 0$, функция возрастает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(0)=0$.

В точке $x=\frac{1}{3}$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 0,5(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{27} - \frac{0,5}{9} = \frac{1}{27} - \frac{1}{18} = \frac{2-3}{54} = -\frac{1}{54}$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[\frac{1}{3}, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, \frac{1}{3}]$. Точка максимума $(0, 0)$, точка минимума $(\frac{1}{3}, -\frac{1}{54})$.

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$f''(x) = (3x^2 - x)' = 6x - 1$.

Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти возможные точки перегиба:

$6x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{6}$.

Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty, \frac{1}{6})$ и $(\frac{1}{6}, +\infty)$:

• При $x \in (-\infty, \frac{1}{6})$, например $x=0$, $f''(0) = 6(0) - 1 = -1 < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x \in (\frac{1}{6}, +\infty)$, например $x=1$, $f''(1) = 6(1) - 1 = 5 > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=\frac{1}{6}$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. Найдем значение функции в этой точке:

$f(\frac{1}{6}) = (\frac{1}{6})^3 - 0,5(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{216} - \frac{0,5}{36} = \frac{1}{216} - \frac{1}{72} = \frac{1-3}{216} = -\frac{2}{216} = -\frac{1}{108}$.

Ответ: График функции является выпуклым вверх на промежутке $(-\infty, \frac{1}{6})$ и выпуклым вниз на промежутке $(\frac{1}{6}, +\infty)$. Точка перегиба $(\frac{1}{6}, -\frac{1}{108})$.

7. Построение графика

Сведем полученные данные в таблицу:

Используя полученные данные (точки пересечения с осями, точки экстремумов, точку перегиба и интервалы монотонности и выпуклости), строим график функции:

Ответ: График функции построен на основании проведенного исследования.