Номер 2, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}}$

Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к следующему неравенству:

$\frac{x^2 - 16}{-x^2 + 6x - 5} \ge 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем корни числителя:

$x^2 - 16 = 0$

$(x - 4)(x + 4) = 0$

$x_1 = 4$, $x_2 = -4$

Эти точки войдут в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$).

2. Найдем корни знаменателя:

$-x^2 + 6x - 5 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни:

$x_3 = 1$, $x_4 = 5$

Эти точки не войдут в решение (будут "выколотыми"), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Теперь перепишем исходное неравенство, разложив числитель и знаменатель на множители:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{-(x - 1)(x - 5)} \ge 0$

Чтобы избавиться от знака "минус" в знаменателе, умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 1)(x - 5)} \le 0$

Отметим найденные корни на числовой прямой: -4, 1, 4, 5. Точки -4 и 4 будут закрашенными, а точки 1 и 5 — выколотыми.

Определим знак выражения в каждом из полученных интервалов:

• При $x \in (5, +\infty)$, например $x=6$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $x \in (4, 5)$, например $x=4.5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$
• При $x \in (1, 4)$, например $x=2$: $\frac{(-)(+)}{(+)(-)} > 0$
• При $x \in (-4, 1)$, например $x=0$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$
• При $x \in (-\infty, -4)$, например $x=-5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервалы, где стоит знак "минус", включая закрашенные точки.

Получаем два промежутка: $[-4, 1)$ и $[4, 5)$.

Объединение этих промежутков является областью определения функции.

Ответ: $x \in [-4, 1) \cup [4, 5)$.