Номер 2, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^3 - x^2 - x;$

2) $f(x) = x\sqrt{12 - x};$

3) $f(x) = x - \sqrt{2}\sin x.$

Дана функция $f(x) = x^3 - x^2 - x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - x^2 - x)' = 3x^2 - 2x - 1$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 2x - 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

4. Критические точки $x = -1/3$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1/3)$, $(-1/3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

• При $x \in (-\infty; -1/3)$, например $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-1/3; 1)$, например $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1/3]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутке $[-1/3; 1]$; $x_{max} = -1/3$ — точка максимума; $x_{min} = 1$ — точка минимума.

Дана функция $f(x) = x\sqrt{12 - x}$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$12 - x \ge 0 \implies x \le 12$.
$D(f) = (-\infty; 12]$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x)'\sqrt{12 - x} + x(\sqrt{12 - x})' = 1 \cdot \sqrt{12 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{12 - x}} \cdot (12 - x)' = \sqrt{12 - x} - \frac{x}{2\sqrt{12 - x}}$.
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2(\sqrt{12 - x})^2 - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{2(12 - x) - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{24 - 2x - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$.

3. Найдем критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

• $f'(x) = 0$: $\frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}} = 0 \implies 24 - 3x = 0 \implies 3x = 24 \implies x = 8$.
• $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{12 - x} = 0 \implies 12 - x = 0 \implies x = 12$.

Обе точки $x=8$ и $x=12$ принадлежат области определения функции.

4. Критические точки разбивают область определения $(-\infty; 12]$ на два интервала: $(-\infty; 8)$ и $(8; 12)$. Определим знак производной на каждом из них. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $24 - 3x$, так как знаменатель всегда положителен при $x < 12$.

• При $x \in (-\infty; 8)$, например $x = 0$: $f'(0) = \frac{24 - 0}{2\sqrt{12}} > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (8; 12)$, например $x = 11$: $f'(11) = \frac{24 - 3 \cdot 11}{2\sqrt{12 - 11}} = \frac{24 - 33}{2} = -4.5 < 0$. Функция убывает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = 8$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
• Точка $x=12$ является граничной точкой области определения. Так как функция убывает на промежутке $[8; 12]$, то $x=12$ является точкой локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 8]$; убывает на промежутке $[8; 12]$; $x_{max} = 8$ — точка максимума; $x_{min} = 12$ — точка минимума.

Дана функция $f(x) = x - \sqrt{2}\sin x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x - \sqrt{2}\sin x)' = 1 - \sqrt{2}\cos x$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$1 - \sqrt{2}\cos x = 0 \implies \sqrt{2}\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решениями этого уравнения являются $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определим интервалы возрастания и убывания.

• Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
  $1 - \sqrt{2}\cos x > 0 \implies 1 > \sqrt{2}\cos x \implies \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Это неравенство выполняется для $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
  $1 - \sqrt{2}\cos x < 0 \implies 1 < \sqrt{2}\cos x \implies \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Это неравенство выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

5. Определим точки экстремума.

• В точках $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точки минимума.
• В точках $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ (или $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi(k-1)$) производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точки максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.