Номер 4, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Исследуйте функцию $f(x) = 2x^2 - x^4$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = 2x^2 - x^4$ для построения ее графика.

1. Область определения функции

Функция $f(x) = 2x^2 - x^4$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции

Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 = 2x^2 - x^4 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
Ответ: Функция четная.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:
Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$:
$f(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.
С осью Ox:
Для нахождения точек пересечения с осью Ox, решим уравнение $f(x)=0$:
$2x^2 - x^4 = 0$
$x^2(2 - x^2) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.
Ответ: Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства

Определим знаки функции на интервалах, на которые область определения разбивается нулями функции: $(-\infty, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, \sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, +\infty)$.
$f(x) = x^2(2-x^2)$.
При $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$, $f(x) < 0$.
При $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$, $f(x) > 0$.
При $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$, $f(x) < 0$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

5. Асимптоты

Вертикальные асимптоты:
Так как функция определена на всей числовой прямой, вертикальных асимптот нет.
Горизонтальные и наклонные асимптоты:
Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} (2x^2 - x^4) = \lim_{x \to \pm\infty} -x^4(1 - \frac{2}{x^2}) = -\infty$.
Так как пределы бесконечны, горизонтальных и наклонных асимптот нет.
Ответ: Асимптот нет.

6. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x - 4x^3 = 0 \implies 4x(1 - x^2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Определим знаки производной на интервалах:
Функция возрастает ($f'(x) > 0$) на $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.
Функция убывает ($f'(x) < 0$) на $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 1$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 1$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, убывает на $[-1, 0]$ и $[1, +\infty]$. Точки максимума: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Точка минимума: $(0, 0)$.

7. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$4 - 12x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Определим знаки второй производной на интервалах:
При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3})$ и $x \in (1/\sqrt{3}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.
При $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
Точки $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ являются точками перегиба. Найдем их ординаты:
$f(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2(\pm\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - (\pm\frac{1}{\sqrt{3}})^4 = 2(\frac{1}{3}) - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.
Ответ: График функции выпуклый вверх на $(-\infty, -1/\sqrt{3}]$ и $[1/\sqrt{3}, +\infty)$. График вогнутый на $[-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}]$. Точки перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$.

8. Построение графика

На основе проведенного исследования построим график функции. Ключевые точки и свойства:
- Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{2}, 0) \approx (-1.41, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0) \approx (1.41, 0)$.
- Точки экстремума: максимумы $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, минимум $(0, 0)$.
- Точки перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}) \approx (-0.58, 0.56)$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}) \approx (0.58, 0.56)$.
- График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции построен.