Номер 3, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите производную данной функции и вычислите её значение в данной точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{6x+7}$, $x_0 = 3$;

2) $f(x) = \cos^4 x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

1)

Дана функция $f(x) = \sqrt{6x + 7}$ и точка $x_0 = 3$.

Для нахождения производной этой функции необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), так как функция представляет собой корень из другого выражения. Запишем функцию в виде $f(x) = (6x + 7)^{1/2}$.

Правило производной сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(h) = h^{1/2}$ и внутренняя функция $h(x) = 6x + 7$.

Находим производные этих функций:

Производная внешней функции: $g'(h) = (\frac{1}{2})h^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{h}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (6x + 7)' = 6$.

Теперь, применяя цепное правило, находим производную исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{6x+7}} \cdot 6 = \frac{3}{\sqrt{6x+7}}$.

Далее, вычислим значение этой производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = \frac{3}{\sqrt{6 \cdot 3 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{18 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 7}}$, $f'(3) = \frac{3}{5}$.

2)

Дана функция $f(x) = \cos^4 x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Эта функция также является сложной. Её можно представить как $f(x) = (\cos x)^4$.

Здесь внешняя функция $g(h) = h^4$, а внутренняя функция $h(x) = \cos x$.

Находим их производные:

Производная внешней функции: $g'(h) = 4h^3$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Применяем цепное правило для нахождения производной $f(x)$:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 4(\cos x)^3 \cdot (-\sin x) = -4\cos^3 x \sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -4\cos^3(\frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4})$.

Известно, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = -4 \cdot \frac{(\sqrt{2})^4}{2^4} = -4 \cdot \frac{4}{16} = -4 \cdot \frac{1}{4} = -1$.

Ответ: $f'(x) = -4\cos^3 x \sin x$, $f'(\frac{\pi}{4}) = -1$.