Страница 172 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 3x^6 + \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x;$

2) $f(x) = (2-5x)\sqrt{x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 2};$

4) $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{5}{x^4}.$

1)

Дана функция $f(x) = 3x^6 + \frac{x^4}{4} - 2x^2 + 5x$.

Для нахождения производной этой функции, которая является многочленом, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и степенной функцией $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности:

$(3x^6)' = 3 \cdot 6x^{6-1} = 18x^5$
$(\frac{x^4}{4})' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3$
$(-2x^2)' = -2 \cdot 2x^{2-1} = -4x$
$(5x)' = 5 \cdot 1x^{1-1} = 5 \cdot 1 = 5$

Сложим полученные производные, чтобы найти производную исходной функции:

$f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5$.

Ответ: $f'(x) = 18x^5 + x^3 - 4x + 5$.

2)

Дана функция $f(x) = (2-5x)\sqrt{x}$.

Для нахождения производной можно применить правило производной произведения, но проще сначала упростить выражение. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и раскроем скобки:

$f(x) = (2-5x)x^{1/2} = 2x^{1/2} - 5x \cdot x^{1/2} = 2x^{1/2} - 5x^{3/2}$.

Теперь найдем производную, используя правило для степенной функции:

$f'(x) = (2x^{1/2})' - (5x^{3/2})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 5 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}$

$f'(x) = 1 \cdot x^{-1/2} - \frac{15}{2}x^{1/2}$.

Перепишем результат в виде выражения с корнями:

$f'(x) = \frac{1}{x^{1/2}} - \frac{15x^{1/2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{15\sqrt{x}}{2}$.

Можно привести выражение к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2}{2\sqrt{x}} - \frac{15\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{2 - 15x}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{2 - 15x}{2\sqrt{x}}$.

3)

Дана функция $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x+2}$.

Это частное двух функций. Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, $u(x) = x^2 - 8x$ и $v(x) = x+2$.

Найдем производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (x^2 - 8x)' = 2x - 8$

$v'(x) = (x+2)' = 1$

Подставим найденные значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(2x-8)(x+2) - (x^2 - 8x) \cdot 1}{(x+2)^2}$.

Упростим выражение в числителе:

$f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - 8x - 16 - x^2 + 8x}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x^2 - x^2) + (4x - 8x + 8x) - 16}{(x+2)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{(x+2)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 16}{(x+2)^2}$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{x^2} - \frac{5}{x^4}$.

Чтобы упростить дифференцирование, перепишем функцию, используя степени с отрицательными показателями:

$f(x) = 4x^{-2} - 5x^{-4}$.

Теперь применим правило производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ к каждому слагаемому:

$f'(x) = (4x^{-2})' - (5x^{-4})' = 4 \cdot (-2)x^{-2-1} - 5 \cdot (-4)x^{-4-1}$

$f'(x) = -8x^{-3} + 20x^{-5}$.

Вернемся к записи в виде дробей:

$f'(x) = -\frac{8}{x^3} + \frac{20}{x^5}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{8}{x^3} + \frac{20}{x^5}$.

2. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = 3x^2 - x^3$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $f(x) = 3x^2 - x^3$ в точке с абсциссой $x_0 = -2$, выполним следующие шаги:

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0 = -2$.
Подставим $x_0 = -2$ в уравнение функции:
$f(-2) = 3(-2)^2 - (-2)^3 = 3 \cdot 4 - (-8) = 12 + 8 = 20$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-2; 20)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$.
Используем правила дифференцирования:
$f'(x) = (3x^2 - x^3)' = (3x^2)' - (x^3)' = 3 \cdot 2x - 3x^2 = 6x - 3x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
$f'(-2) = 6(-2) - 3(-2)^2 = -12 - 3 \cdot 4 = -12 - 12 = -24$.

4. Составим уравнение касательной.
Подставим найденные значения $x_0 = -2$, $f(x_0) = 20$ и $f'(x_0) = -24$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 20 + (-24)(x - (-2))$
$y = 20 - 24(x + 2)$
$y = 20 - 24x - 48$
$y = -24x - 28$

Ответ: $y = -24x - 28$.

3. Найдите производную данной функции и вычислите её значение в данной точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{6x+7}$, $x_0 = 3$;

2) $f(x) = \cos^4 x$, $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

1)

Дана функция $f(x) = \sqrt{6x + 7}$ и точка $x_0 = 3$.

Для нахождения производной этой функции необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), так как функция представляет собой корень из другого выражения. Запишем функцию в виде $f(x) = (6x + 7)^{1/2}$.

Правило производной сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(h) = h^{1/2}$ и внутренняя функция $h(x) = 6x + 7$.

Находим производные этих функций:

Производная внешней функции: $g'(h) = (\frac{1}{2})h^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{h}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (6x + 7)' = 6$.

Теперь, применяя цепное правило, находим производную исходной функции:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{6x+7}} \cdot 6 = \frac{3}{\sqrt{6x+7}}$.

Далее, вычислим значение этой производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = \frac{3}{\sqrt{6 \cdot 3 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{18 + 7}} = \frac{3}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{3}{\sqrt{6x + 7}}$, $f'(3) = \frac{3}{5}$.

2)

Дана функция $f(x) = \cos^4 x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Эта функция также является сложной. Её можно представить как $f(x) = (\cos x)^4$.

Здесь внешняя функция $g(h) = h^4$, а внутренняя функция $h(x) = \cos x$.

Находим их производные:

Производная внешней функции: $g'(h) = 4h^3$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Применяем цепное правило для нахождения производной $f(x)$:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = 4(\cos x)^3 \cdot (-\sin x) = -4\cos^3 x \sin x$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -4\cos^3(\frac{\pi}{4}) \sin(\frac{\pi}{4})$.

Известно, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем эти значения в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{4}) = -4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = -4 \cdot \frac{(\sqrt{2})^4}{2^4} = -4 \cdot \frac{4}{16} = -4 \cdot \frac{1}{4} = -1$.

Ответ: $f'(x) = -4\cos^3 x \sin x$, $f'(\frac{\pi}{4}) = -1$.

4. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 8 + 15t + t^2 - \frac{1}{3}t^3$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $s$ — в метрах). Найдите скорость движения точки в момент времени $t_0 = 4$.

Скорость движения материальной точки является первой производной от функции перемещения по времени. Закон движения точки задан функцией: $s(t) = 8 + 15t + t^2 - \frac{1}{3}t^3$.

Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, необходимо найти производную от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$: $v(t) = s'(t) = (8 + 15t + t^2 - \frac{1}{3}t^3)'$.

Применяя правила дифференцирования, находим производную каждого слагаемого: $(8)' = 0$ $(15t)' = 15$ $(t^2)' = 2t$ $(-\frac{1}{3}t^3)' = -\frac{1}{3} \cdot 3t^2 = -t^2$

Таким образом, функция скорости имеет вид: $v(t) = 15 + 2t - t^2$.

Теперь найдем скорость движения точки в момент времени $t_0 = 4$ с, подставив это значение в найденную функцию скорости: $v(4) = 15 + 2 \cdot 4 - 4^2$.

Выполним вычисления: $v(4) = 15 + 8 - 16 = 23 - 16 = 7$.

Так как перемещение измеряется в метрах, а время — в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 7 м/с.

5. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 4x - 10$, если эта касательная параллельна прямой $y = -6x + 7$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке касания, а $f'(x_0)$ — значение производной в этой же точке, которое равно угловому коэффициенту (наклону) касательной.

По условию задачи, искомая касательная параллельна прямой $y = -6x + 7$. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = -6x + 7$ равен -6. Следовательно, угловой коэффициент касательной также должен быть равен -6.

$f'(x_0) = -6$

1. Найдем производную функции $f(x) = x^2 - 4x - 10$:

$f'(x) = (x^2)' - (4x)' - (10)' = 2x - 4$

2. Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв значение производной к -6:

$2x_0 - 4 = -6$

$2x_0 = -2$

$x_0 = -1$

3. Вычислим ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$, подставив $x_0 = -1$ в исходное уравнение функции:

$y_0 = f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) - 10 = 1 + 4 - 10 = -5$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-1; -5)$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = -1$, $f(x_0) = -5$ и $f'(x_0) = -6$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = -5 + (-6)(x - (-1))$

$y = -5 - 6(x + 1)$

$y = -5 - 6x - 6$

$y = -6x - 11$

Ответ: $y = -6x - 11$.

1. Докажите, что функция $f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2+6x-20$ возрастает на множестве действительных чисел.

1.

Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x - 20$ возрастает на множестве действительных чисел, нужно показать, что ее производная $f'(x)$ положительна для всех действительных значений $x$.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 6x - 20)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - 2 \cdot (x^2)' + 6 \cdot (x)' - (20)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x + 6 \cdot 1 - 0 = x^2 - 4x + 6$

2. Теперь необходимо исследовать знак производной $f'(x) = x^2 - 4x + 6$ на всей числовой оси. Это квадратичная функция, график которой является параболой с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (то есть, имеет ли производная нули), найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 6$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси $Ox$.

Следовательно, $f'(x) = x^2 - 4x + 6 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Альтернативный способ доказать положительность производной — выделить полный квадрат:

$f'(x) = x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 4x + 4) + 2 = (x-2)^2 + 2$

Так как $(x-2)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x-2)^2 + 2 \ge 2$. Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x$.

Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция $f(x)$ монотонно возрастает на множестве действительных чисел, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^3 - x^2 - x;$

2) $f(x) = x\sqrt{12 - x};$

3) $f(x) = x - \sqrt{2}\sin x.$

Дана функция $f(x) = x^3 - x^2 - x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - x^2 - x)' = 3x^2 - 2x - 1$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 - 2x - 1 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

4. Критические точки $x = -1/3$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1/3)$, $(-1/3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих интервалов.

• При $x \in (-\infty; -1/3)$, например $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-1/3; 1)$, например $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например $x = 2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0$. Функция возрастает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = -1/3$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1/3]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутке $[-1/3; 1]$; $x_{max} = -1/3$ — точка максимума; $x_{min} = 1$ — точка минимума.

Дана функция $f(x) = x\sqrt{12 - x}$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$12 - x \ge 0 \implies x \le 12$.
$D(f) = (-\infty; 12]$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x)'\sqrt{12 - x} + x(\sqrt{12 - x})' = 1 \cdot \sqrt{12 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{12 - x}} \cdot (12 - x)' = \sqrt{12 - x} - \frac{x}{2\sqrt{12 - x}}$.
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2(\sqrt{12 - x})^2 - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{2(12 - x) - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{24 - 2x - x}{2\sqrt{12 - x}} = \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}$.

3. Найдем критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

• $f'(x) = 0$: $\frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}} = 0 \implies 24 - 3x = 0 \implies 3x = 24 \implies x = 8$.
• $f'(x)$ не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{12 - x} = 0 \implies 12 - x = 0 \implies x = 12$.

Обе точки $x=8$ и $x=12$ принадлежат области определения функции.

4. Критические точки разбивают область определения $(-\infty; 12]$ на два интервала: $(-\infty; 8)$ и $(8; 12)$. Определим знак производной на каждом из них. Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $24 - 3x$, так как знаменатель всегда положителен при $x < 12$.

• При $x \in (-\infty; 8)$, например $x = 0$: $f'(0) = \frac{24 - 0}{2\sqrt{12}} > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (8; 12)$, например $x = 11$: $f'(11) = \frac{24 - 3 \cdot 11}{2\sqrt{12 - 11}} = \frac{24 - 33}{2} = -4.5 < 0$. Функция убывает.

5. Определим точки экстремума.

• В точке $x = 8$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
• Точка $x=12$ является граничной точкой области определения. Так как функция убывает на промежутке $[8; 12]$, то $x=12$ является точкой локального минимума.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 8]$; убывает на промежутке $[8; 12]$; $x_{max} = 8$ — точка максимума; $x_{min} = 12$ — точка минимума.

Дана функция $f(x) = x - \sqrt{2}\sin x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x - \sqrt{2}\sin x)' = 1 - \sqrt{2}\cos x$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$1 - \sqrt{2}\cos x = 0 \implies \sqrt{2}\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решениями этого уравнения являются $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определим интервалы возрастания и убывания.

• Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
  $1 - \sqrt{2}\cos x > 0 \implies 1 > \sqrt{2}\cos x \implies \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Это неравенство выполняется для $x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
  $1 - \sqrt{2}\cos x < 0 \implies 1 < \sqrt{2}\cos x \implies \cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
  Это неравенство выполняется для $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

5. Определим точки экстремума.

• В точках $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точки минимума.
• В точках $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ (или $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi(k-1)$) производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точки максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x+1}$ на промежутке $[-5; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих ему, а затем выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее.

Функция $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$ определена и непрерывна на всем промежутке $[-5; -2]$, так как точка разрыва $x = -1$ не входит в этот промежуток.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:$f'(x) = \frac{(x^2 - 8x)'(x + 1) - (x^2 - 8x)(x + 1)'}{(x + 1)^2}$$f'(x) = \frac{(2x - 8)(x + 1) - (x^2 - 8x) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - 8x - 8 - x^2 + 8x}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2}$.

2. Найдем критические точки функции, приравняв производную к нулю:$f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 + 2x - 8}{(x + 1)^2} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.$x^2 + 2x - 8 = 0$. Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:$x_1 + x_2 = -2$$x_1 \cdot x_2 = -8$Отсюда корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 2$.

3. Проверим, какие из критических точек принадлежат заданному промежутку $[-5; -2]$. Точка $x = -4$ принадлежит этому промежутку ($-5 \le -4 \le -2$).Точка $x = 2$ не принадлежит этому промежутку.

4. Вычислим значения функции на концах промежутка ($x = -5$ и $x = -2$) и в критической точке $x = -4$.$f(-5) = \frac{(-5)^2 - 8(-5)}{-5 + 1} = \frac{25 + 40}{-4} = \frac{65}{-4} = -16,25$.$f(-2) = \frac{(-2)^2 - 8(-2)}{-2 + 1} = \frac{4 + 16}{-1} = \frac{20}{-1} = -20$.$f(-4) = \frac{(-4)^2 - 8(-4)}{-4 + 1} = \frac{16 + 32}{-3} = \frac{48}{-3} = -16$.

5. Сравним полученные значения: $-16,25$; $-20$; $-16$. Наибольшее значение функции на отрезке $[-5; -2]$ равно $-16$. Наименьшее значение функции на отрезке $[-5; -2]$ равно $-20$.

Ответ: наибольшее значение функции равно -16, наименьшее значение функции равно -20.

4. Исследуйте функцию $f(x) = 2x^2 - x^4$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = 2x^2 - x^4$ для построения ее графика.

1. Область определения функции

Функция $f(x) = 2x^2 - x^4$ является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность функции

Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 2(-x)^2 - (-x)^4 = 2x^2 - x^4 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
Ответ: Функция четная.

3. Точки пересечения с осями координат

С осью Oy:
Для нахождения точки пересечения с осью Oy, подставим $x=0$:
$f(0) = 2(0)^2 - (0)^4 = 0$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, 0)$.
С осью Ox:
Для нахождения точек пересечения с осью Ox, решим уравнение $f(x)=0$:
$2x^2 - x^4 = 0$
$x^2(2 - x^2) = 0$
Отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, $x_3 = -\sqrt{2}$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.
Ответ: Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства

Определим знаки функции на интервалах, на которые область определения разбивается нулями функции: $(-\infty, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, \sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, +\infty)$.
$f(x) = x^2(2-x^2)$.
При $x \in (-\infty, -\sqrt{2})$, $f(x) < 0$.
При $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$, $f(x) > 0$.
При $x \in (\sqrt{2}, +\infty)$, $f(x) < 0$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\sqrt{2}, 0) \cup (0, \sqrt{2})$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$.

5. Асимптоты

Вертикальные асимптоты:
Так как функция определена на всей числовой прямой, вертикальных асимптот нет.
Горизонтальные и наклонные асимптоты:
Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$:
$\lim_{x \to \pm\infty} (2x^2 - x^4) = \lim_{x \to \pm\infty} -x^4(1 - \frac{2}{x^2}) = -\infty$.
Так как пределы бесконечны, горизонтальных и наклонных асимптот нет.
Ответ: Асимптот нет.

6. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (2x^2 - x^4)' = 4x - 4x^3$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x - 4x^3 = 0 \implies 4x(1 - x^2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.
Определим знаки производной на интервалах:
Функция возрастает ($f'(x) > 0$) на $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.
Функция убывает ($f'(x) < 0$) на $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = 2(-1)^2 - (-1)^4 = 1$.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума. $y_{max} = f(1) = 2(1)^2 - (1)^4 = 1$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$, убывает на $[-1, 0]$ и $[1, +\infty]$. Точки максимума: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Точка минимума: $(0, 0)$.

7. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = (4x - 4x^3)' = 4 - 12x^2$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:
$4 - 12x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Определим знаки второй производной на интервалах:
При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3})$ и $x \in (1/\sqrt{3}, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.
При $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
Точки $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ являются точками перегиба. Найдем их ординаты:
$f(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2(\pm\frac{1}{\sqrt{3}})^2 - (\pm\frac{1}{\sqrt{3}})^4 = 2(\frac{1}{3}) - \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$.
Ответ: График функции выпуклый вверх на $(-\infty, -1/\sqrt{3}]$ и $[1/\sqrt{3}, +\infty)$. График вогнутый на $[-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3}]$. Точки перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$.

8. Построение графика

На основе проведенного исследования построим график функции. Ключевые точки и свойства:
- Точки пересечения с осями: $(-\sqrt{2}, 0) \approx (-1.41, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{2}, 0) \approx (1.41, 0)$.
- Точки экстремума: максимумы $(-1, 1)$ и $(1, 1)$, минимум $(0, 0)$.
- Точки перегиба: $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}) \approx (-0.58, 0.56)$ и $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}) \approx (0.58, 0.56)$.
- График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: График функции построен.