Страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Докажите, что функция $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 12$ убывает на множестве действительных чисел.

Чтобы доказать, что функция убывает на множестве действительных чисел, нужно показать, что её производная отрицательна для любого действительного числа $x$.

1. Найдём производную функции $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 12$.

$f'(x) = \left(-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 12\right)' = -\frac{1}{3} \cdot (3x^2) + \frac{1}{2} \cdot (2x) - 2 + 0 = -x^2 + x - 2$.

2. Теперь необходимо определить знак производной $f'(x) = -x^2 + x - 2$ для всех действительных $x$. Выражение для производной является квадратичной функцией, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

3. Найдём точки пересечения этой параболы с осью абсцисс, для чего приравняем производную к нулю и найдём корни уравнения $-x^2 + x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-2) = 1 - 8 = -7$.

4. Так как дискриминант $D = -7 < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что график функции $f'(x)$ (парабола) не пересекает и не касается оси Ox.

Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не имеет точек пересечения с осью Ox, её график полностью лежит ниже оси Ox. Это означает, что $f'(x) < 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Так как производная функции отрицательна на всей числовой прямой, исходная функция $f(x)$ является убывающей на множестве действительных чисел.

Ответ: Производная функции $f'(x) = -x^2 + x - 2$ отрицательна для всех действительных чисел $x$, так как это квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом и отрицательным дискриминантом ($D=-7$). Следовательно, функция $f(x)$ убывает на всей числовой прямой.

2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3;$

2) $f(x) = x\sqrt{9-x};$

3) $f(x) = \sqrt{3x} - 2\cos x.$

1) $f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3$

1. Находим область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$f'(x) = (x^3 - x^2 - 5x - 3)' = 3x^2 - 2x - 5$.

3. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $f'(x) = 0$.

$3x^2 - 2x - 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Критические точки: $x = -1$ и $x = \frac{5}{3}$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Критические точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, \frac{5}{3})$ и $(\frac{5}{3}, +\infty)$. График производной $f'(x) = 3x^2 - 2x - 5$ — это парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty, -1)$: $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• На интервале $(-1, \frac{5}{3})$: $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• На интервале $(\frac{5}{3}, +\infty)$: $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

5. Находим точки экстремума.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0$.

В точке $x = \frac{5}{3}$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $y_{min} = f(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - (\frac{5}{3})^2 - 5(\frac{5}{3}) - 3 = \frac{125}{27} - \frac{25}{9} - \frac{25}{3} - 3 = \frac{125 - 75 - 225 - 81}{27} = -\frac{256}{27}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[\frac{5}{3}, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, \frac{5}{3}]$; точка максимума $x_{max} = -1$, точка минимума $x_{min} = \frac{5}{3}$.

2) $f(x) = x\sqrt{9-x}$

1. Находим область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $9 - x \ge 0$, откуда $x \le 9$. Область определения $D(f) = (-\infty, 9]$.

2. Находим производную функции.

Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)'\sqrt{9-x} + x(\sqrt{9-x})' = 1 \cdot \sqrt{9-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{9-x}} \cdot (9-x)' = \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}}$.

Приводим к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2(\sqrt{9-x})^2 - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{2(9-x) - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{18 - 2x - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{18 - 3x}{2\sqrt{9-x}}$.

3. Находим критические точки.

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: $18 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{9-x} = 0 \Rightarrow 9 - x = 0 \Rightarrow x = 9$.

Обе точки $x=6$ и $x=9$ принадлежат области определения.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Критические точки делят область определения на два интервала: $(-\infty, 6)$ и $(6, 9)$. Знаменатель $2\sqrt{9-x}$ всегда положителен при $x<9$, поэтому знак производной зависит от знака числителя $18 - 3x$.

• На интервале $(-\infty, 6)$: $18 - 3x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• На интервале $(6, 9)$: $18 - 3x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.

5. Находим точки экстремума.

В точке $x = 6$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $y_{max} = f(6) = 6\sqrt{9-6} = 6\sqrt{3}$.

Точка $x = 9$ является концом области определения. Поскольку функция убывает на промежутке $[6, 9]$, то $x=9$ является точкой локального минимума (краевой экстремум). $y_{min} = f(9) = 9\sqrt{9-9} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 6]$, убывает на промежутке $[6, 9]$; точка максимума $x_{max} = 6$, точка минимума $x_{min} = 9$.

3) $f(x) = \sqrt{3}x - 2\cos x$

1. Находим область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$f'(x) = (\sqrt{3}x - 2\cos x)' = \sqrt{3} - 2(-\sin x) = \sqrt{3} + 2\sin x$.

3. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\sqrt{3} + 2\sin x = 0 \Rightarrow 2\sin x = -\sqrt{3} \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решения этого тригонометрического уравнения: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Знак производной $f'(x) = \sqrt{3} + 2\sin x$ зависит от знака выражения $2\sin x + \sqrt{3}$.

• $f'(x) > 0 \Rightarrow \sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$. На этих интервалах функция возрастает.
• $f'(x) < 0 \Rightarrow \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это выполняется на интервалах $(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$. На этих интервалах функция убывает.

5. Находим точки экстремума.

В точках $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точки минимума.

В точках $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точки максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n]$, убывает на промежутках вида $[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, точки максимума $x_{max} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{x^2+7x}{x-9}$ на промежутке $[-4; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x - 9}$ на отрезке $[-4; 1]$, сначала определим область определения функции и проверим её непрерывность на данном отрезке. Знаменатель дроби $x-9$ обращается в ноль при $x=9$. Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty; 9) \cup (9; +\infty)$. Поскольку точка разрыва $x=9$ не принадлежит отрезку $[-4; 1]$, функция непрерывна на этом отрезке. Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, лежащих внутри отрезка.

Найдём производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2 + 7x)'(x-9) - (x^2+7x)(x-9)'}{(x-9)^2} = \frac{(2x+7)(x-9) - (x^2+7x) \cdot 1}{(x-9)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 18x + 7x - 63 - x^2 - 7x}{(x-9)^2} = \frac{x^2 - 18x - 63}{(x-9)^2}$.

Далее найдём критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная не существует при $x=9$, но эта точка не принадлежит рассматриваемому отрезку. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$f'(x)=0 \implies \frac{x^2 - 18x - 63}{(x-9)^2} = 0$.
Это уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 18x - 63 = 0 \\ (x-9)^2 \neq 0 \end{cases}$
Решим квадратное уравнение $x^2 - 18x - 63 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576 = 24^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{18 - 24}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{18 + 24}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Теперь выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-4; 1]$.
$x_1 = -3 \in [-4; 1]$.
$x_2 = 21 \notin [-4; 1]$.
Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо вычислить её значения на концах отрезка ($x=-4$ и $x=1$) и в единственной подходящей критической точке ($x=-3$).

Вычислим значения функции в этих точках:
$f(-4) = \frac{(-4)^2 + 7(-4)}{-4 - 9} = \frac{16 - 28}{-13} = \frac{-12}{-13} = \frac{12}{13}$.
$f(1) = \frac{1^2 + 7 \cdot 1}{1 - 9} = \frac{1 + 7}{-8} = \frac{8}{-8} = -1$.
$f(-3) = \frac{(-3)^2 + 7(-3)}{-3 - 9} = \frac{9 - 21}{-12} = \frac{-12}{-12} = 1$.

Сравнивая полученные значения $f(-4)=\frac{12}{13}$, $f(1)=-1$ и $f(-3)=1$, находим наибольшее и наименьшее из них.
Наибольшее значение: $\max(\frac{12}{13}, -1, 1) = 1$.
Наименьшее значение: $\min(\frac{12}{13}, -1, 1) = -1$.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $[-4; 1]$ равно $1$, наименьшее значение равно $-1$.

4. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 3x^2$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ по стандартному плану.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность

Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x) = -(x^3 - 3x^2) = -x^3 + 3x^2$, функция не является ни четной, ни нечетной. Такая функция называется функцией общего вида.
Функция не является периодической, так как является многочленом.
Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (OY):
Для этого нужно найти значение функции при $x=0$: $f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$.
Пересечение с осью абсцисс (OX):
Для этого нужно найти значения $x$, при которых $f(x)=0$:
$x^3 - 3x^2 = 0$
$x^2(x-3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(3, 0)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства

Нули функции $x=0$ и $x=3$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих интервалов.
- На интервале $(-\infty, 0)$, например, при $x=-1$: $f(-1) = (-1)^2(-1-3) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0$.
- На интервале $(0, 3)$, например, при $x=1$: $f(1) = 1^2(1-3) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0$.
- На интервале $(3, +\infty)$, например, при $x=4$: $f(4) = 4^2(4-3) = 16 \cdot 1 = 16 > 0$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (3, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 3)$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x \in (0, 2)$: $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x \in (2, +\infty)$: $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. $f(0)=0$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. $f(2)=2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$.
Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, убывает на интервале $(0, 2)$. Точка локального максимума: $(0, 0)$. Точка локального минимума: $(2, -4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.
Найдем точки возможного перегиба, решив уравнение $f''(x) = 0$:
$6x - 6 = 0 \implies x = 1$.
Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 1)$: $f''(0) = -6 < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (1, +\infty)$: $f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
Так как в точке $x=1$ меняется направление выпуклости, это точка перегиба. Найдем ординату: $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 = -2$.
Ответ: График функции является выпуклым вверх на интервале $(-\infty, 1)$ и выпуклым вниз на интервале $(1, +\infty)$. Точка перегиба: $(1, -2)$.

7. Асимптоты

Так как функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой оси, поэтому вертикальных асимптот у нее нет.
Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx + b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3x) = +\infty$.
Так как предел не является конечным числом, наклонных (и, как следствие, горизонтальных) асимптот нет.
Ответ: Асимптот нет.

8. Построение графика

Для удобства построения графика сведем все полученные данные в таблицу.

Основываясь на результатах исследования, строим график функции. Отмечаем на координатной плоскости точки пересечения с осями $(0,0)$ и $(3,0)$, точку максимума $(0,0)$, точку минимума $(2, -4)$ и точку перегиба $(1, -2)$. Соединяем эти точки плавной кривой в соответствии с данными о монотонности и выпуклости из таблицы.

Ответ: График функции построен на основе проведенного исследования.

1. Сравните $\sqrt[3]{2\sqrt{3}}$ и $\sqrt[6]{5\sqrt{6}}$.

Для того чтобы сравнить два иррациональных числа $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}} $ и $ \sqrt[6]{5\sqrt{6}} $, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей корней 3 и 6 равно 6. Также можно возвести оба числа в 6-ю степень. Поскольку оба числа положительные, то соотношение между ними не изменится.

1. Возведем первое число $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}} $ в 6-ю степень:
$ (\sqrt[3]{2\sqrt{3}})^6 = (2\sqrt{3})^{6/3} = (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 $.

2. Возведем второе число $ \sqrt[6]{5\sqrt{6}} $ в 6-ю степень:
$ (\sqrt[6]{5\sqrt{6}})^6 = 5\sqrt{6} $.

3. Теперь сравним полученные результаты: 12 и $ 5\sqrt{6} $. Для этого возведем оба положительных числа в квадрат:
$ 12^2 = 144 $.
$ (5\sqrt{6})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 25 \cdot 6 = 150 $.

4. Сравниваем квадраты: $ 144 < 150 $.
Это означает, что $ 12 < 5\sqrt{6} $.
Следовательно, $ (\sqrt[3]{2\sqrt{3}})^6 < (\sqrt[6]{5\sqrt{6}})^6 $.
Так как функция возведения в 6-ю степень для положительных чисел является возрастающей, то и для исходных чисел выполняется то же неравенство: $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}} < \sqrt[6]{5\sqrt{6}} $.

Ответ: $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}} < \sqrt[6]{5\sqrt{6}} $.

2. Найдите область определения функции

$f(x)=\sqrt{\frac{9-x^2}{x^2-6x+8}}$

Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{9-x^2}{x^2-6x+8}}$ — это множество всех значений $x$, при которых выражение под корнем неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Следовательно, нам необходимо решить неравенство:

$\frac{9-x^2}{x^2-6x+8} \ge 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни числителя и знаменателя.

1. Найдем нули числителя:

$9-x^2 = 0$

$(3-x)(3+x) = 0$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

2. Найдем нули знаменателя:

$x^2-6x+8 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $x_3 = 2$, $x_4 = 4$. Эти значения $x$ не входят в область определения, так как при них знаменатель обращается в ноль.

3. Отметим найденные точки на числовой оси. Точки $x = -3$ и $x = 3$ (нули числителя) будут включены в решение, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точки $x = 2$ и $x = 4$ (нули знаменателя) будут исключены (выколоты).

4. Определим знак выражения $\frac{(3-x)(3+x)}{(x-2)(x-4)}$ на каждом из полученных интервалов:

- При $x \in (4; +\infty)$ (например, $x=5$): $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$.

- При $x \in (3; 4)$ (например, $x=3.5$): $\frac{(-)(+)}{(+)(-)} > 0$.

- При $x \in (2; 3)$ (например, $x=2.5$): $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} < 0$.

- При $x \in (-3; 2)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} > 0$.

- При $x \in (-\infty; -3)$ (например, $x=-4$): $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} < 0$.

5. Нам нужны интервалы, где значение выражения больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "$+$", а также точки, в которых числитель равен нулю ($x=-3$ и $x=3$).

Объединяя полученные результаты, находим область определения функции.

Ответ: $x \in [-3; 2) \cup [3; 4)$.

3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x-1} = x-2;$

2) $8\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 0;$

3) $\cos 6x - 5\cos 3x + 4 = 0.$

1) $\sqrt{2x-1} = x-2$

Это иррациональное уравнение. Для его решения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) и затем возвести обе части в квадрат.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.
$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-2)^2$
$2x-1 = x^2 - 4x + 4$

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Отсюда корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $x=5$.

2) $8\sin\frac{x}{3} + \cos\frac{x}{3} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части на $\cos\frac{x}{3}$.

1. Проверим, может ли $\cos\frac{x}{3}$ быть равным нулю. Если $\cos\frac{x}{3} = 0$, то из исходного уравнения следует, что $8\sin\frac{x}{3} = 0$, то есть $\sin\frac{x}{3} = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Следовательно, $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, и мы можем разделить на него обе части уравнения.

2. Делим уравнение на $\cos\frac{x}{3}$:
$\frac{8\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} + \frac{\cos\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} = 0$
$8\tan\frac{x}{3} + 1 = 0$

3. Решаем полученное уравнение относительно тангенса:
$8\tan\frac{x}{3} = -1$
$\tan\frac{x}{3} = -\frac{1}{8}$

4. Находим общее решение:
$\frac{x}{3} = \arctan(-\frac{1}{8}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как арктангенс - нечетная функция, $\arctan(-a) = -\arctan(a)$.
$\frac{x}{3} = -\arctan(\frac{1}{8}) + \pi n$
$x = -3\arctan(\frac{1}{8}) + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -3\arctan(\frac{1}{8}) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos6x - 5\cos3x + 4 = 0$

Это тригонометрическое уравнение, которое сводится к квадратному с помощью формулы двойного угла.

1. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому $\cos6x = \cos(2 \cdot 3x) = 2\cos^2(3x) - 1$.

2. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(2\cos^2(3x) - 1) - 5\cos3x + 4 = 0$
$2\cos^2(3x) - 5\cos3x + 3 = 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos3x$. Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.
Уравнение принимает вид:
$2t^2 - 5t + 3 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

5. Проверим корни на соответствие условию $-1 \le t \le 1$.
$t_1 = 1$ удовлетворяет условию.
$t_2 = 1.5$ не удовлетворяет условию, так как $1.5 > 1$.

6. Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = 1$:
$\cos3x = 1$

7. Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Это частный случай, решение которого:
$3x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

4. Докажите тождество

$(\frac{\sin 8\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 8\alpha}{\cos 5\alpha}) \cdot \frac{\sin 6\alpha + \sin 14\alpha}{\sin 3\alpha} = 4 \cos 4\alpha$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Она состоит из двух множителей. Преобразуем каждый из них по отдельности.

1. Первый множитель: $ \left(\frac{\sin(8\alpha)}{\sin(5\alpha)} - \frac{\cos(8\alpha)}{\cos(5\alpha)}\right) $.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ \sin(5\alpha)\cos(5\alpha) $:

$ \frac{\sin(8\alpha)\cos(5\alpha) - \cos(8\alpha)\sin(5\alpha)}{\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)} $

В числителе используем формулу синуса разности углов $ \sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y) $:

$ \sin(8\alpha - 5\alpha) = \sin(3\alpha) $

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, из которой следует $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $:

$ \sin(5\alpha)\cos(5\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 5\alpha) = \frac{1}{2}\sin(10\alpha) $

Таким образом, первый множитель равен:

$ \frac{\sin(3\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(10\alpha)} = \frac{2\sin(3\alpha)}{\sin(10\alpha)} $

2. Второй множитель: $ \frac{\sin(6\alpha) + \sin(14\alpha)}{\sin(3\alpha)} $.

В числителе применим формулу суммы синусов $ \sin(x) + \sin(y) = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) $:

$ \sin(6\alpha) + \sin(14\alpha) = 2\sin(\frac{6\alpha + 14\alpha}{2})\cos(\frac{14\alpha - 6\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{20\alpha}{2})\cos(\frac{8\alpha}{2}) = 2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha) $

Таким образом, второй множитель равен:

$ \frac{2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)}{\sin(3\alpha)} $

3. Теперь перемножим полученные выражения:

$ \left(\frac{2\sin(3\alpha)}{\sin(10\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)}{\sin(3\alpha)}\right) $

Сократим одинаковые множители $ \sin(3\alpha) $ и $ \sin(10\alpha) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{2\cancel{\sin(3\alpha)}}{\cancel{\sin(10\alpha)}} \cdot \frac{2\cancel{\sin(10\alpha)}\cos(4\alpha)}{\cancel{\sin(3\alpha)}} = 2 \cdot 2\cos(4\alpha) = 4\cos(4\alpha) $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного выражения:

$ 4\cos(4\alpha) = 4\cos(4\alpha) $

Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

5. Решите неравенство $\sqrt{1-5x} < x+1$.

Данное неравенство является иррациональным и имеет вид $\sqrt{f(x)} < g(x)$. Оно равносильно системе неравенств, в которой подкоренное выражение должно быть неотрицательным, правая часть неравенства должна быть положительной (так как корень не может быть меньше отрицательного числа), и квадрат левой части должен быть меньше квадрата правой части:

$$\begin{cases}f(x) \ge 0 \\g(x) > 0 \\(\sqrt{f(x)})^2 < (g(x))^2\end{cases}$$

В нашем случае $f(x) = 1 - 5x$ и $g(x) = x + 1$. Подставим эти выражения в систему:

$$\begin{cases}1 - 5x \ge 0 \\x + 1 > 0 \\1 - 5x < (x + 1)^2\end{cases}$$

Теперь решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решение первого неравенства:

$1 - 5x \ge 0$

$-5x \ge -1$

При делении на отрицательное число (-5) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-1}{-5}$

$x \le \frac{1}{5}$

2. Решение второго неравенства:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

3. Решение третьего неравенства:

$1 - 5x < (x + 1)^2$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата суммы:

$1 - 5x < x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$0 < x^2 + 2x + 1 - 1 + 5x$

$0 < x^2 + 7x$

или

$x^2 + 7x > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x = 0$.

$x(x + 7) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -7$.

Графиком функции $y = x^2 + 7x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 7x > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (0; +\infty)$.

4. Найдем пересечение решений всех трех неравенств:

Мы получили три условия для $x$:

• $x \le \frac{1}{5}$
• $x > -1$
• $x < -7$ или $x > 0$

Объединим первые два условия, что дает нам интервал: $(-1; \frac{1}{5}]$.

Теперь необходимо найти пересечение этого интервала с множеством, полученным из третьего неравенства: $(-\infty; -7) \cup (0; +\infty)$.

Разобьем задачу на две части:

1) Пересечение $(-1; \frac{1}{5}]$ с $(-\infty; -7)$ является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно больше $-1$ и меньше $-7$.

2) Пересечение $(-1; \frac{1}{5}]$ с $(0; +\infty)$ дает интервал $(0; \frac{1}{5}]$. В этот интервал входят числа, которые больше $0$ и одновременно меньше или равны $\frac{1}{5}$.

Общее решение системы является объединением результатов этих пересечений, то есть интервал $(0; \frac{1}{5}]$.

Ответ: $(0; \frac{1}{5}]$.

6. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 6x^2$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 6x^2$.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому область её определения — все действительные числа.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность и периодичность

Проверим функцию на четность, найдя $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 - 6(-x)^2 = -x^3 - 6x^2$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
Функция непериодическая, так как является многочленом.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0$.
График пересекает ось Oy в точке $(0, 0)$.
Пересечение с осью Ox (при $f(x)=0$):
$x^3 - 6x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x - 6) = 0$.
Корни уравнения: $x_1=0$ (кратность 2) и $x_2=6$.
График пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$. В точке $(0, 0)$ график касается оси Ox, так как корень имеет четную кратность.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Для нахождения промежутков возрастания/убывания и экстремумов найдем первую производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2)' = 3x^2 - 12x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x)=0$:
$3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0$.
Критические точки: $x_1=0$ и $x_2=4$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, 0)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0, 4)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(4, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=0$ знак производной меняется с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = f(0) = 0$. Точка максимума: $(0, 0)$.
В точке $x=4$ знак производной меняется с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 = 64 - 96 = -32$. Точка минимума: $(4, -32)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Для нахождения интервалов выпуклости/вогнутости и точек перегиба найдем вторую производную:
$f''(x) = (3x^2 - 12x)' = 6x - 12$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $f''(x)=0$:
$6x - 12 = 0 \Rightarrow x=2$.
Определим знаки второй производной на интервалах: $(-\infty, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, 2)$ вторая производная $f''(x) < 0$, следовательно, график функции выпуклый (направлен выпуклостью вверх).
- На интервале $(2, +\infty)$ вторая производная $f''(x) > 0$, следовательно, график функции вогнутый (направлен выпуклостью вниз).
В точке $x=2$ направление выпуклости меняется, значит, это точка перегиба.
Найдем значение функции в этой точке: $f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 = 8 - 24 = -16$.
Точка перегиба: $(2, -16)$.

6. Асимптоты

Поскольку функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой, и у неё отсутствуют вертикальные асимптоты.
Так как $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, горизонтальные асимптоты отсутствуют.
Проверка на наличие наклонных асимптот ($k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2-6x) = \infty$) показывает, что наклонных асимптот также нет.

7. Построение графика

На основе проведенного анализа отметим ключевые точки и построим график функции.

Ответ:

В результате исследования функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ установлено:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), непериодическая.
3. Точки пересечения с осями координат: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
4. Промежутки возрастания: $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$. Промежуток убывания: $(0, 4)$.
5. Точка локального максимума: $(0, 0)$. Точка локального минимума: $(4, -32)$.
6. График функции выпуклый на интервале $(-\infty, 2)$ и вогнутый на интервале $(2, +\infty)$.
7. Точка перегиба: $(2, -16)$.
8. Асимптоты отсутствуют.
График функции построен выше.