Номер 5, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Решите неравенство $\sqrt{1-5x} < x+1$.

Данное неравенство является иррациональным и имеет вид $\sqrt{f(x)} < g(x)$. Оно равносильно системе неравенств, в которой подкоренное выражение должно быть неотрицательным, правая часть неравенства должна быть положительной (так как корень не может быть меньше отрицательного числа), и квадрат левой части должен быть меньше квадрата правой части:

$$\begin{cases}f(x) \ge 0 \\g(x) > 0 \\(\sqrt{f(x)})^2 < (g(x))^2\end{cases}$$

В нашем случае $f(x) = 1 - 5x$ и $g(x) = x + 1$. Подставим эти выражения в систему:

$$\begin{cases}1 - 5x \ge 0 \\x + 1 > 0 \\1 - 5x < (x + 1)^2\end{cases}$$

Теперь решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решение первого неравенства:

$1 - 5x \ge 0$

$-5x \ge -1$

При делении на отрицательное число (-5) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-1}{-5}$

$x \le \frac{1}{5}$

2. Решение второго неравенства:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

3. Решение третьего неравенства:

$1 - 5x < (x + 1)^2$

Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата суммы:

$1 - 5x < x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное неравенство:

$0 < x^2 + 2x + 1 - 1 + 5x$

$0 < x^2 + 7x$

или

$x^2 + 7x > 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x = 0$.

$x(x + 7) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -7$.

Графиком функции $y = x^2 + 7x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 7x > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами интервала между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty; -7) \cup (0; +\infty)$.

4. Найдем пересечение решений всех трех неравенств:

Мы получили три условия для $x$:

• $x \le \frac{1}{5}$
• $x > -1$
• $x < -7$ или $x > 0$

Объединим первые два условия, что дает нам интервал: $(-1; \frac{1}{5}]$.

Теперь необходимо найти пересечение этого интервала с множеством, полученным из третьего неравенства: $(-\infty; -7) \cup (0; +\infty)$.

Разобьем задачу на две части:

1) Пересечение $(-1; \frac{1}{5}]$ с $(-\infty; -7)$ является пустым множеством, так как нет чисел, которые одновременно больше $-1$ и меньше $-7$.

2) Пересечение $(-1; \frac{1}{5}]$ с $(0; +\infty)$ дает интервал $(0; \frac{1}{5}]$. В этот интервал входят числа, которые больше $0$ и одновременно меньше или равны $\frac{1}{5}$.

Общее решение системы является объединением результатов этих пересечений, то есть интервал $(0; \frac{1}{5}]$.

Ответ: $(0; \frac{1}{5}]$.