Номер 4, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Докажите тождество

$(\frac{\sin 8\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 8\alpha}{\cos 5\alpha}) \cdot \frac{\sin 6\alpha + \sin 14\alpha}{\sin 3\alpha} = 4 \cos 4\alpha$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Она состоит из двух множителей. Преобразуем каждый из них по отдельности.

1. Первый множитель: $ \left(\frac{\sin(8\alpha)}{\sin(5\alpha)} - \frac{\cos(8\alpha)}{\cos(5\alpha)}\right) $.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ \sin(5\alpha)\cos(5\alpha) $:

$ \frac{\sin(8\alpha)\cos(5\alpha) - \cos(8\alpha)\sin(5\alpha)}{\sin(5\alpha)\cos(5\alpha)} $

В числителе используем формулу синуса разности углов $ \sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y) $:

$ \sin(8\alpha - 5\alpha) = \sin(3\alpha) $

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $, из которой следует $ \sin(x)\cos(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) $:

$ \sin(5\alpha)\cos(5\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 5\alpha) = \frac{1}{2}\sin(10\alpha) $

Таким образом, первый множитель равен:

$ \frac{\sin(3\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(10\alpha)} = \frac{2\sin(3\alpha)}{\sin(10\alpha)} $

2. Второй множитель: $ \frac{\sin(6\alpha) + \sin(14\alpha)}{\sin(3\alpha)} $.

В числителе применим формулу суммы синусов $ \sin(x) + \sin(y) = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2}) $:

$ \sin(6\alpha) + \sin(14\alpha) = 2\sin(\frac{6\alpha + 14\alpha}{2})\cos(\frac{14\alpha - 6\alpha}{2}) = 2\sin(\frac{20\alpha}{2})\cos(\frac{8\alpha}{2}) = 2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha) $

Таким образом, второй множитель равен:

$ \frac{2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)}{\sin(3\alpha)} $

3. Теперь перемножим полученные выражения:

$ \left(\frac{2\sin(3\alpha)}{\sin(10\alpha)}\right) \cdot \left(\frac{2\sin(10\alpha)\cos(4\alpha)}{\sin(3\alpha)}\right) $

Сократим одинаковые множители $ \sin(3\alpha) $ и $ \sin(10\alpha) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{2\cancel{\sin(3\alpha)}}{\cancel{\sin(10\alpha)}} \cdot \frac{2\cancel{\sin(10\alpha)}\cos(4\alpha)}{\cancel{\sin(3\alpha)}} = 2 \cdot 2\cos(4\alpha) = 4\cos(4\alpha) $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного выражения:

$ 4\cos(4\alpha) = 4\cos(4\alpha) $

Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.