Номер 3, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \frac{x^2+7x}{x-9}$ на промежутке $[-4; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{x^2 + 7x}{x - 9}$ на отрезке $[-4; 1]$, сначала определим область определения функции и проверим её непрерывность на данном отрезке. Знаменатель дроби $x-9$ обращается в ноль при $x=9$. Таким образом, область определения функции $D(f) = (-\infty; 9) \cup (9; +\infty)$. Поскольку точка разрыва $x=9$ не принадлежит отрезку $[-4; 1]$, функция непрерывна на этом отрезке. Согласно теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, лежащих внутри отрезка.

Найдём производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^2 + 7x)'(x-9) - (x^2+7x)(x-9)'}{(x-9)^2} = \frac{(2x+7)(x-9) - (x^2+7x) \cdot 1}{(x-9)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 18x + 7x - 63 - x^2 - 7x}{(x-9)^2} = \frac{x^2 - 18x - 63}{(x-9)^2}$.

Далее найдём критические точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная не существует при $x=9$, но эта точка не принадлежит рассматриваемому отрезку. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:
$f'(x)=0 \implies \frac{x^2 - 18x - 63}{(x-9)^2} = 0$.
Это уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} x^2 - 18x - 63 = 0 \\ (x-9)^2 \neq 0 \end{cases}$
Решим квадратное уравнение $x^2 - 18x - 63 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 324 + 252 = 576 = 24^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{18 - 24}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
$x_2 = \frac{18 + 24}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Теперь выберем критические точки, принадлежащие отрезку $[-4; 1]$.
$x_1 = -3 \in [-4; 1]$.
$x_2 = 21 \notin [-4; 1]$.
Следовательно, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции необходимо вычислить её значения на концах отрезка ($x=-4$ и $x=1$) и в единственной подходящей критической точке ($x=-3$).

Вычислим значения функции в этих точках:
$f(-4) = \frac{(-4)^2 + 7(-4)}{-4 - 9} = \frac{16 - 28}{-13} = \frac{-12}{-13} = \frac{12}{13}$.
$f(1) = \frac{1^2 + 7 \cdot 1}{1 - 9} = \frac{1 + 7}{-8} = \frac{8}{-8} = -1$.
$f(-3) = \frac{(-3)^2 + 7(-3)}{-3 - 9} = \frac{9 - 21}{-12} = \frac{-12}{-12} = 1$.

Сравнивая полученные значения $f(-4)=\frac{12}{13}$, $f(1)=-1$ и $f(-3)=1$, находим наибольшее и наименьшее из них.
Наибольшее значение: $\max(\frac{12}{13}, -1, 1) = 1$.
Наименьшее значение: $\min(\frac{12}{13}, -1, 1) = -1$.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $[-4; 1]$ равно $1$, наименьшее значение равно $-1$.