Номер 6, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 6x^2$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 6x^2$.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому область её определения — все действительные числа.
$D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность и периодичность

Проверим функцию на четность, найдя $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^3 - 6(-x)^2 = -x^3 - 6x^2$.
Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида).
Функция непериодическая, так как является многочленом.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 = 0$.
График пересекает ось Oy в точке $(0, 0)$.
Пересечение с осью Ox (при $f(x)=0$):
$x^3 - 6x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x - 6) = 0$.
Корни уравнения: $x_1=0$ (кратность 2) и $x_2=6$.
График пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(6, 0)$. В точке $(0, 0)$ график касается оси Ox, так как корень имеет четную кратность.

4. Промежутки монотонности и точки экстремума

Для нахождения промежутков возрастания/убывания и экстремумов найдем первую производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 6x^2)' = 3x^2 - 12x$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x)=0$:
$3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 3x(x - 4) = 0$.
Критические точки: $x_1=0$ и $x_2=4$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$, $(4, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, 0)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0, 4)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(4, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=0$ знак производной меняется с «+» на «-», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = f(0) = 0$. Точка максимума: $(0, 0)$.
В точке $x=4$ знак производной меняется с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
$y_{min} = f(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 = 64 - 96 = -32$. Точка минимума: $(4, -32)$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Для нахождения интервалов выпуклости/вогнутости и точек перегиба найдем вторую производную:
$f''(x) = (3x^2 - 12x)' = 6x - 12$.
Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю: $f''(x)=0$:
$6x - 12 = 0 \Rightarrow x=2$.
Определим знаки второй производной на интервалах: $(-\infty, 2)$ и $(2, +\infty)$.
- На интервале $(-\infty, 2)$ вторая производная $f''(x) < 0$, следовательно, график функции выпуклый (направлен выпуклостью вверх).
- На интервале $(2, +\infty)$ вторая производная $f''(x) > 0$, следовательно, график функции вогнутый (направлен выпуклостью вниз).
В точке $x=2$ направление выпуклости меняется, значит, это точка перегиба.
Найдем значение функции в этой точке: $f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 = 8 - 24 = -16$.
Точка перегиба: $(2, -16)$.

6. Асимптоты

Поскольку функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой прямой, и у неё отсутствуют вертикальные асимптоты.
Так как $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, горизонтальные асимптоты отсутствуют.
Проверка на наличие наклонных асимптот ($k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2-6x) = \infty$) показывает, что наклонных асимптот также нет.

7. Построение графика

На основе проведенного анализа отметим ключевые точки и построим график функции.

Ответ:

В результате исследования функции $f(x) = x^3 - 6x^2$ установлено:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), непериодическая.
3. Точки пересечения с осями координат: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
4. Промежутки возрастания: $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$. Промежуток убывания: $(0, 4)$.
5. Точка локального максимума: $(0, 0)$. Точка локального минимума: $(4, -32)$.
6. График функции выпуклый на интервале $(-\infty, 2)$ и вогнутый на интервале $(2, +\infty)$.
7. Точка перегиба: $(2, -16)$.
8. Асимптоты отсутствуют.
График функции построен выше.