Номер 7, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Решите неравенство:

1) $(x-6)(x+11)(x-14) < 0;$

2) $(7-x)(x-11)(x-9)^2 \le 0;$

3) $\frac{x}{x-4} - \frac{6}{x} - \frac{16}{x^2 - 4x} \ge 0.$

1) $(x-6)(x+11)(x-14) < 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов.
1. Найдем нули функции $y = (x-6)(x+11)(x-14)$. Для этого приравняем выражение к нулю:
$(x-6)(x+11)(x-14) = 0$
Корнями уравнения являются $x_1 = 6$, $x_2 = -11$, $x_3 = 14$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; 6)$, $(6; 14)$ и $(14; +\infty)$.
3. Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x = 15$:
$(15-6)(15+11)(15-14) = 9 \cdot 26 \cdot 1 > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (1), знаки в интервалах будут чередоваться:
- на $(14; +\infty)$ знак "+";
- на $(6; 14)$ знак "-";
- на $(-11; 6)$ знак "+";
- на $(-\infty; -11)$ знак "-".
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля, то есть интервалы со знаком "-".
Это интервалы $(-\infty; -11)$ и $(6; 14)$.
Объединяя эти интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -11) \cup (6; 14)$.

2) $(7-x)(x-11)(x-9)^2 \le 0$

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в первом множителе был положительным. Вынесем "-1" за скобку:
$-(x-7)(x-11)(x-9)^2 \le 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$(x-7)(x-11)(x-9)^2 \ge 0$
2. Найдем нули левой части:
$(x-7)(x-11)(x-9)^2 = 0$
Корнями являются $x_1 = 7$, $x_2 = 11$, $x_3 = 9$.
Обратим внимание, что корень $x=9$ имеет кратность 2 (четная).
3. Отметим корни на числовой прямой и определим знаки в получившихся интервалах: $(-\infty; 7)$, $(7; 9)$, $(9; 11)$, $(11; +\infty)$.
Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=12$:
$(12-7)(12-11)(12-9)^2 = 5 \cdot 1 \cdot 3^2 > 0$. Знак "+".
Двигаясь справа налево, знаки будут чередоваться при переходе через корни нечетной кратности ($x=11$ и $x=7$) и не будут меняться при переходе через корень четной кратности ($x=9$).
- на $(11; +\infty)$ знак "+";
- на $(9; 11)$ знак "-";
- на $(7; 9)$ знак "-";
- на $(-\infty; 7)$ знак "+".
4. Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и сами корни, так как неравенство нестрогое.
Интервалы со знаком "+": $(-\infty; 7)$ и $(11; +\infty)$.
Включаем корни $x=7$ и $x=11$ в эти интервалы: $(-\infty; 7]$ и $[11; +\infty)$.
Также, при $x=9$ выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $\ge 0$. Поэтому точку $x=9$ также нужно включить в ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 7] \cup \{9\} \cup [11; +\infty)$.

3) $\frac{x}{x-4} - \frac{6}{x} - \frac{16}{x^2-4x} \ge 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:
$x-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$
$x \neq 0$
$x^2-4x = x(x-4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 4$.
ОДЗ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.
2. Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю $x(x-4)$:
$\frac{x \cdot x - 6(x-4) - 16}{x(x-4)} \ge 0$
3. Упростим числитель:
$\frac{x^2 - 6x + 24 - 16}{x(x-4)} \ge 0$
$\frac{x^2 - 6x + 8}{x(x-4)} \ge 0$
4. Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Тогда $x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x-2)(x-4)}{x(x-4)} \ge 0$
5. Сократим дробь на $(x-4)$, учитывая ОДЗ ($x \neq 4$):
$\frac{x-2}{x} \ge 0$
6. Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$.
Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=2$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=0$ - выколотой (знаменатель).
Получаем интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 2]$, $[2; +\infty)$.
Определим знаки выражения $\frac{x-2}{x}$ в интервалах:
- на $[2; +\infty)$ знак "+";
- на $(0; 2]$ знак "-";
- на $(-\infty; 0)$ знак "+".
Нам нужны интервалы со знаком "+". Это $(-\infty; 0) \cup [2; +\infty)$.
7. Учтем ОДЗ: $x \neq 4$. Точка $x=4$ попадает в промежуток $[2; +\infty)$, поэтому ее нужно исключить.
Итоговое решение: $(-\infty; 0) \cup [2; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [2; 4) \cup (4; +\infty)$.