Номер 6, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Определите графически количество решений системы уравнений

$ \begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = \frac{1}{4}x. \end{cases} $

Чтобы определить графически количество решений системы уравнений, необходимо построить графики функций, входящих в систему, в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Каждая точка пересечения соответствует одному решению системы.

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = x^3, \\ y = \frac{1}{4}x. \end{cases} $$

Первый график — это кубическая парабола $y = x^3$. Она проходит через начало координат $(0, 0)$, расположена в I и III координатных четвертях и симметрична относительно начала координат (так как функция нечётная).

Второй график — это прямая $y = \frac{1}{4}x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Прямая также расположена в I и III координатных четвертях.

Построим эскизы графиков в одной системе координат.

1. Оба графика проходят через начало координат, следовательно, точка $(0, 0)$ является одной из точек пересечения. Это означает, что $x = 0, y = 0$ — одно из решений системы.

2. При $x > 0$ (в I четверти) оба графика находятся выше оси Ox. Прямая $y = \frac{1}{4}x$ растёт медленнее, чем кубическая парабола $y = x^3$ при больших значениях $x$. Однако вблизи нуля, например, при $x = 0.1$, имеем $y = 0.1^3 = 0.001$, а для прямой $y = \frac{1}{4} \cdot 0.1 = 0.025$. То есть сначала график параболы лежит ниже прямой. Так как парабола растет быстрее, она обязательно пересечет прямую еще раз. Найдем эту точку пересечения, приравняв правые части уравнений:
$x^3 = \frac{1}{4}x$
$x^3 - \frac{1}{4}x = 0$
$x(x^2 - \frac{1}{4}) = 0$
$x(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{2}) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = -\frac{1}{2}$.

3. Корень $x_2 = \frac{1}{2}$ соответствует точке пересечения в I четверти. Найдем $y$: $y = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. Точка пересечения — $(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$.

4. Корень $x_3 = -\frac{1}{2}$ соответствует точке пересечения в III четверти. Так как обе функции нечётные, их графики симметричны относительно начала координат, поэтому наличие точки пересечения $(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$ гарантирует наличие симметричной ей точки $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$. Найдем $y$: $y = (-\frac{1}{2})^3 = -\frac{1}{8}$. Точка пересечения — $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$.

Таким образом, графики пересекаются в трёх точках: $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{8})$, $(0, 0)$ и $(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$. Это означает, что система имеет три решения.

Ответ: 3.