Номер 2, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите значение выражения:

1) $3\sqrt[3]{\frac{125}{64}} \cdot \sqrt[4]{\frac{256}{81}} + \sqrt[3]{-125};$

2) $\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}};$

3) $\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9};$

4) $\sqrt[3]{9-3\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{9+3\sqrt{6}}.$

1) $3\sqrt[3]{1\frac{61}{64}} \cdot \sqrt[4]{3\frac{13}{81}} + \sqrt[3]{-125}$

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{61}{64} = \frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$

$3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$

Подставим преобразованные дроби обратно в выражение:

$3\sqrt[3]{\frac{125}{64}} \cdot \sqrt[4]{\frac{256}{81}} + \sqrt[3]{-125}$

Теперь вычислим значения корней:

$\sqrt[3]{\frac{125}{64}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{5}{4}$, так как $5^3=125$ и $4^3=64$.

$\sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{4}{3}$, так как $4^4=256$ и $3^4=81$.

$\sqrt[3]{-125} = -5$, так как $(-5)^3=-125$.

Подставим полученные значения в выражение:

$3 \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3} + (-5)$

Выполним умножение, сократив дроби:

$\frac{3}{1} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 4 \cdot 3} = 5$

Наконец, выполним сложение:

$5 + (-5) = 5 - 5 = 0$

Ответ: 0

2) $\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}}$

Воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}}{\sqrt[n]{c}}$:

$\sqrt[4]{\frac{5^8 \cdot 11^4}{2^{16}}} = \frac{\sqrt[4]{5^8} \cdot \sqrt[4]{11^4}}{\sqrt[4]{2^{16}}}$

Теперь применим свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[4]{5^8} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^2 = 25$

$\sqrt[4]{11^4} = 11^{\frac{4}{4}} = 11^1 = 11$

$\sqrt[4]{2^{16}} = 2^{\frac{16}{4}} = 2^4 = 16$

Подставим вычисленные значения обратно в дробь:

$\frac{25 \cdot 11}{16} = \frac{275}{16}$

При необходимости можно представить ответ в виде смешанной дроби: $17\frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{275}{16}$

3) $\sqrt[3]{375} \cdot \sqrt[3]{9}$

Используем свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{375 \cdot 9}$

Для упрощения вычисления разложим подкоренные числа на простые множители:

$375 = 3 \cdot 125 = 3 \cdot 5^3$

$9 = 3^2$

Перемножим их под корнем:

$\sqrt[3]{(3 \cdot 5^3) \cdot 3^2} = \sqrt[3]{3^1 \cdot 3^2 \cdot 5^3} = \sqrt[3]{3^{1+2} \cdot 5^3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 5^3}$

Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$\sqrt[3]{(3 \cdot 5)^3} = \sqrt[3]{15^3}$

Извлечем кубический корень:

$\sqrt[3]{15^3} = 15$

Ответ: 15

4) $\sqrt[3]{9 - 3\sqrt{6}} \cdot \sqrt[3]{9 + 3\sqrt{6}}$

Так как степени корней одинаковы, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$:

$\sqrt[3]{(9 - 3\sqrt{6}) \cdot (9 + 3\sqrt{6})}$

Выражение в скобках является формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a=9$ и $b=3\sqrt{6}$.

Вычислим $a^2$ и $b^2$:

$a^2 = 9^2 = 81$

$b^2 = (3\sqrt{6})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$

Теперь найдем их разность:

$a^2 - b^2 = 81 - 54 = 27$

Подставим полученное значение под знак корня:

$\sqrt[3]{27}$

Результат равен:

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3