Номер 4, страница 167 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Постройте график функции $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}x}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}x}$ выполним следующие шаги:

1. Найдём область определения функции

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Составим и решим соответствующее неравенство:

$2 + \frac{1}{2}x \ge 0$

$\frac{1}{2}x \ge -2$

$x \ge -4$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$. Это означает, что график функции будет расположен на координатной плоскости не левее прямой $x = -4$.

2. Найдём область значений функции

По определению, значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, следовательно, $y \ge 0$.

Область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$. Это означает, что график функции расположен не ниже оси абсцисс (оси Ox).

3. Вычислим координаты нескольких точек графика

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений, выбирая $x$ из области определения так, чтобы подкоренное выражение было удобно для вычислений (например, являлось полным квадратом).

• Если $x = -4$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(-4)} = \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0$. Это начальная точка графика: $(-4, 0)$.
• Если $x = -2$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(-2)} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-2, 1)$.
• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(0)} = \sqrt{2} \approx 1,41$. Это точка пересечения с осью ординат: $(0, \sqrt{2})$.
• Если $x = 4$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(4)} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.
• Если $x = 14$, то $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}(14)} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(14, 3)$.

4. Построим график

Отметим найденные точки $(-4, 0)$, $(-2, 1)$, $(0, \sqrt{2})$, $(4, 2)$ на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График функции представляет собой ветвь параболы, которая начинается в точке $(-4, 0)$ и уходит вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2 + \frac{1}{2}x}$ является ветвью параболы, которая начинается в точке $(-4; 0)$ и проходит через точки, например, $(-2; 1)$, $(0; \sqrt{2})$ и $(4; 2)$, монотонно возрастая на всей области определения.