Номер 3, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x-1} = x-2;$

2) $8\sin \frac{x}{3} + \cos \frac{x}{3} = 0;$

3) $\cos 6x - 5\cos 3x + 4 = 0.$

1) $\sqrt{2x-1} = x-2$

Это иррациональное уравнение. Для его решения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ) и затем возвести обе части в квадрат.

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения также должна быть неотрицательной, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.
$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x \ge 1 \\ x \ge 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 0.5 \\ x \ge 2 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x \ge 2$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x-1})^2 = (x-2)^2$
$2x-1 = x^2 - 4x + 4$

3. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 2x + 4 + 1 = 0$
$x^2 - 6x + 5 = 0$

4. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Отсюда корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 2$).
Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 2$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $x \ge 2$.

Ответ: $x=5$.

2) $8\sin\frac{x}{3} + \cos\frac{x}{3} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Для его решения разделим обе части на $\cos\frac{x}{3}$.

1. Проверим, может ли $\cos\frac{x}{3}$ быть равным нулю. Если $\cos\frac{x}{3} = 0$, то из исходного уравнения следует, что $8\sin\frac{x}{3} = 0$, то есть $\sin\frac{x}{3} = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Следовательно, $\cos\frac{x}{3} \neq 0$, и мы можем разделить на него обе части уравнения.

2. Делим уравнение на $\cos\frac{x}{3}$:
$\frac{8\sin\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} + \frac{\cos\frac{x}{3}}{\cos\frac{x}{3}} = 0$
$8\tan\frac{x}{3} + 1 = 0$

3. Решаем полученное уравнение относительно тангенса:
$8\tan\frac{x}{3} = -1$
$\tan\frac{x}{3} = -\frac{1}{8}$

4. Находим общее решение:
$\frac{x}{3} = \arctan(-\frac{1}{8}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как арктангенс - нечетная функция, $\arctan(-a) = -\arctan(a)$.
$\frac{x}{3} = -\arctan(\frac{1}{8}) + \pi n$
$x = -3\arctan(\frac{1}{8}) + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -3\arctan(\frac{1}{8}) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos6x - 5\cos3x + 4 = 0$

Это тригонометрическое уравнение, которое сводится к квадратному с помощью формулы двойного угла.

1. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. В нашем случае $\alpha = 3x$, поэтому $\cos6x = \cos(2 \cdot 3x) = 2\cos^2(3x) - 1$.

2. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(2\cos^2(3x) - 1) - 5\cos3x + 4 = 0$
$2\cos^2(3x) - 5\cos3x + 3 = 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos3x$. Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.
Уравнение принимает вид:
$2t^2 - 5t + 3 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

5. Проверим корни на соответствие условию $-1 \le t \le 1$.
$t_1 = 1$ удовлетворяет условию.
$t_2 = 1.5$ не удовлетворяет условию, так как $1.5 > 1$.

6. Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = 1$:
$\cos3x = 1$

7. Решим это простейшее тригонометрическое уравнение. Это частный случай, решение которого:
$3x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.