gdz.top
Номер 1, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Контрольные работы. Вариант 1. Контрольная работа № 8. Тема. Применение производной - номер 1, страница 166.
№5
№1 (с. 166)
Условие. №1 (с. 166)
1. Докажите, что функция $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 12$ убывает на множестве действительных чисел.
Решение. №1 (с. 166)
Чтобы доказать, что функция убывает на множестве действительных чисел, нужно показать, что её производная отрицательна для любого действительного числа $x$.
1. Найдём производную функции $f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 12$.
$f'(x) = \left(-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x + 12\right)' = -\frac{1}{3} \cdot (3x^2) + \frac{1}{2} \cdot (2x) - 2 + 0 = -x^2 + x - 2$.
2. Теперь необходимо определить знак производной $f'(x) = -x^2 + x - 2$ для всех действительных $x$. Выражение для производной является квадратичной функцией, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Найдём точки пересечения этой параболы с осью абсцисс, для чего приравняем производную к нулю и найдём корни уравнения $-x^2 + x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$ для этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(-1)(-2) = 1 - 8 = -7$.
4. Так как дискриминант $D = -7 < 0$, у уравнения нет действительных корней. Это означает, что график функции $f'(x)$ (парабола) не пересекает и не касается оси Ox.
Поскольку ветви параболы направлены вниз и она не имеет точек пересечения с осью Ox, её график полностью лежит ниже оси Ox. Это означает, что $f'(x) < 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.
Так как производная функции отрицательна на всей числовой прямой, исходная функция $f(x)$ является убывающей на множестве действительных чисел.
Ответ: Производная функции $f'(x) = -x^2 + x - 2$ отрицательна для всех действительных чисел $x$, так как это квадратичная функция с отрицательным старшим коэффициентом и отрицательным дискриминантом ($D=-7$). Следовательно, функция $f(x)$ убывает на всей числовой прямой.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1 расположенного на странице 166 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1 (с. 166), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.