Номер 1, страница 165 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Найдите производную функции:

1) $f(x) = 2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4$;

2) $f(x) = (3x - 5)\sqrt{x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 + 9x}{x - 4}$;

4) $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^6}$.

1) Дана функция $f(x) = 2x^5 - \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 4$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы функций $(u \pm v)' = u' \pm v'$, правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Производная функции является суммой производных ее слагаемых:

$f'(x) = (2x^5)' - (\frac{x^3}{3})' + (3x^2)' - (4)'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности:

• $(2x^5)' = 2 \cdot 5x^{5-1} = 10x^4$
• $(\frac{x^3}{3})' = (\frac{1}{3}x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x^2$
• $(3x^2)' = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$
• $(4)' = 0$ (производная константы равна нулю)

Собираем все вместе:

$f'(x) = 10x^4 - x^2 + 6x - 0 = 10x^4 - x^2 + 6x$.

Ответ: $f'(x) = 10x^4 - x^2 + 6x$.

2) Дана функция $f(x) = (3x - 5)\sqrt{x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x - 5$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (3x - 5)' = 3$

$v'(x) = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставляем в формулу производной произведения:

$f'(x) = u'v + uv' = 3 \cdot \sqrt{x} + (3x-5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Упростим выражение, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:

$f'(x) = \frac{3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{3x-5}{2\sqrt{x}} = \frac{6x + 3x - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{9x - 5}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{9x - 5}{2\sqrt{x}}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{x^2 + 9x}{x - 4}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть числитель $u(x) = x^2 + 9x$ и знаменатель $v(x) = x - 4$.

Найдем их производные:

$u'(x) = (x^2 + 9x)' = 2x + 9$

$v'(x) = (x - 4)' = 1$

Подставляем в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(2x+9)(x-4) - (x^2+9x) \cdot 1}{(x-4)^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$f'(x) = \frac{(2x^2 - 8x + 9x - 36) - x^2 - 9x}{(x-4)^2} = \frac{2x^2 + x - 36 - x^2 - 9x}{(x-4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 36}{(x-4)^2}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{x^2 - 8x - 36}{(x-4)^2}$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x^6}$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степеней с отрицательными показателями, используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:

$f(x) = 2x^{-3} - 3x^{-6}$.

Теперь используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:

$f'(x) = (2x^{-3})' - (3x^{-6})' = 2 \cdot (-3)x^{-3-1} - 3 \cdot (-6)x^{-6-1}$

$f'(x) = -6x^{-4} - (-18)x^{-7} = -6x^{-4} + 18x^{-7}$.

Запишем результат с положительными степенями в знаменателе:

$f'(x) = -\frac{6}{x^4} + \frac{18}{x^7}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{6}{x^4} + \frac{18}{x^7}$.