Номер 2, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3;$

2) $f(x) = x\sqrt{9-x};$

3) $f(x) = \sqrt{3x} - 2\cos x.$

1) $f(x) = x^3 - x^2 - 5x - 3$

1. Находим область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$f'(x) = (x^3 - x^2 - 5x - 3)' = 3x^2 - 2x - 5$.

3. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $f'(x) = 0$.

$3x^2 - 2x - 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

Критические точки: $x = -1$ и $x = \frac{5}{3}$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Критические точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, \frac{5}{3})$ и $(\frac{5}{3}, +\infty)$. График производной $f'(x) = 3x^2 - 2x - 5$ — это парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty, -1)$: $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• На интервале $(-1, \frac{5}{3})$: $f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.
• На интервале $(\frac{5}{3}, +\infty)$: $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.

5. Находим точки экстремума.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $y_{max} = f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 3 = -1 - 1 + 5 - 3 = 0$.

В точке $x = \frac{5}{3}$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка минимума. $y_{min} = f(\frac{5}{3}) = (\frac{5}{3})^3 - (\frac{5}{3})^2 - 5(\frac{5}{3}) - 3 = \frac{125}{27} - \frac{25}{9} - \frac{25}{3} - 3 = \frac{125 - 75 - 225 - 81}{27} = -\frac{256}{27}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[\frac{5}{3}, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, \frac{5}{3}]$; точка максимума $x_{max} = -1$, точка минимума $x_{min} = \frac{5}{3}$.

2) $f(x) = x\sqrt{9-x}$

1. Находим область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $9 - x \ge 0$, откуда $x \le 9$. Область определения $D(f) = (-\infty, 9]$.

2. Находим производную функции.

Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x)'\sqrt{9-x} + x(\sqrt{9-x})' = 1 \cdot \sqrt{9-x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{9-x}} \cdot (9-x)' = \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}}$.

Приводим к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{2(\sqrt{9-x})^2 - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{2(9-x) - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{18 - 2x - x}{2\sqrt{9-x}} = \frac{18 - 3x}{2\sqrt{9-x}}$.

3. Находим критические точки.

Производная равна нулю, когда числитель равен нулю: $18 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 18 \Rightarrow x = 6$.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $2\sqrt{9-x} = 0 \Rightarrow 9 - x = 0 \Rightarrow x = 9$.

Обе точки $x=6$ и $x=9$ принадлежат области определения.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Критические точки делят область определения на два интервала: $(-\infty, 6)$ и $(6, 9)$. Знаменатель $2\sqrt{9-x}$ всегда положителен при $x<9$, поэтому знак производной зависит от знака числителя $18 - 3x$.

• На интервале $(-\infty, 6)$: $18 - 3x > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает.
• На интервале $(6, 9)$: $18 - 3x < 0 \Rightarrow f'(x) < 0$, следовательно, функция $f(x)$ убывает.

5. Находим точки экстремума.

В точке $x = 6$ производная меняет знак с «+» на «-», значит, это точка максимума. $y_{max} = f(6) = 6\sqrt{9-6} = 6\sqrt{3}$.

Точка $x = 9$ является концом области определения. Поскольку функция убывает на промежутке $[6, 9]$, то $x=9$ является точкой локального минимума (краевой экстремум). $y_{min} = f(9) = 9\sqrt{9-9} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 6]$, убывает на промежутке $[6, 9]$; точка максимума $x_{max} = 6$, точка минимума $x_{min} = 9$.

3) $f(x) = \sqrt{3}x - 2\cos x$

1. Находим область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$f'(x) = (\sqrt{3}x - 2\cos x)' = \sqrt{3} - 2(-\sin x) = \sqrt{3} + 2\sin x$.

3. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\sqrt{3} + 2\sin x = 0 \Rightarrow 2\sin x = -\sqrt{3} \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решения этого тригонометрического уравнения: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Знак производной $f'(x) = \sqrt{3} + 2\sin x$ зависит от знака выражения $2\sin x + \sqrt{3}$.

• $f'(x) > 0 \Rightarrow \sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n)$. На этих интервалах функция возрастает.
• $f'(x) < 0 \Rightarrow \sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это выполняется на интервалах $(\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)$. На этих интервалах функция убывает.

5. Находим точки экстремума.

В точках $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точки минимума.

В точках $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точки максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{4\pi}{3} + 2\pi n]$, убывает на промежутках вида $[\frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, точки максимума $x_{max} = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.