Номер 4, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Исследуйте функцию $f(x) = x^3 - 3x^2$ и постройте её график.

Проведем полное исследование функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ по стандартному плану.

1. Область определения

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность

Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 = -x^3 - 3x^2$.
Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x) = -(x^3 - 3x^2) = -x^3 + 3x^2$, функция не является ни четной, ни нечетной. Такая функция называется функцией общего вида.
Функция не является периодической, так как является многочленом.
Ответ: Функция общего вида, непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат

Пересечение с осью ординат (OY):
Для этого нужно найти значение функции при $x=0$: $f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$.
Пересечение с осью абсцисс (OX):
Для этого нужно найти значения $x$, при которых $f(x)=0$:
$x^3 - 3x^2 = 0$
$x^2(x-3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(3, 0)$.
Ответ: Точки пересечения с осями координат: $(0, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства

Нули функции $x=0$ и $x=3$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$. Определим знак функции на каждом из этих интервалов.
- На интервале $(-\infty, 0)$, например, при $x=-1$: $f(-1) = (-1)^2(-1-3) = 1 \cdot (-4) = -4 < 0$.
- На интервале $(0, 3)$, например, при $x=1$: $f(1) = 1^2(1-3) = 1 \cdot (-2) = -2 < 0$.
- На интервале $(3, +\infty)$, например, при $x=4$: $f(4) = 4^2(4-3) = 16 \cdot 1 = 16 > 0$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (3, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 3)$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума

Найдем первую производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.
Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками: $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 0)$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x \in (0, 2)$: $f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x \in (2, +\infty)$: $f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0$, следовательно, функция возрастает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка локального максимума. $f(0)=0$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка локального минимума. $f(2)=2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$.
Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, убывает на интервале $(0, 2)$. Точка локального максимума: $(0, 0)$. Точка локального минимума: $(2, -4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:
$f''(x) = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.
Найдем точки возможного перегиба, решив уравнение $f''(x) = 0$:
$6x - 6 = 0 \implies x = 1$.
Исследуем знак второй производной на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.
- При $x \in (-\infty, 1)$: $f''(0) = -6 < 0$, график функции выпуклый вверх.
- При $x \in (1, +\infty)$: $f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
Так как в точке $x=1$ меняется направление выпуклости, это точка перегиба. Найдем ординату: $f(1) = 1^3 - 3(1)^2 = -2$.
Ответ: График функции является выпуклым вверх на интервале $(-\infty, 1)$ и выпуклым вниз на интервале $(1, +\infty)$. Точка перегиба: $(1, -2)$.

7. Асимптоты

Так как функция является многочленом, она непрерывна на всей числовой оси, поэтому вертикальных асимптот у нее нет.
Проверим наличие наклонных асимптот вида $y = kx + b$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x^2}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3x) = +\infty$.
Так как предел не является конечным числом, наклонных (и, как следствие, горизонтальных) асимптот нет.
Ответ: Асимптот нет.

8. Построение графика

Для удобства построения графика сведем все полученные данные в таблицу.

Основываясь на результатах исследования, строим график функции. Отмечаем на координатной плоскости точки пересечения с осями $(0,0)$ и $(3,0)$, точку максимума $(0,0)$, точку минимума $(2, -4)$ и точку перегиба $(1, -2)$. Соединяем эти точки плавной кривой в соответствии с данными о монотонности и выпуклости из таблицы.

Ответ: График функции построен на основе проведенного исследования.