Номер 3, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$;

2) $3\sin^2 3x - 2.5\sin 6x + 1 = 0$;

3) $\sin 9x + \sin 8x + \sin 7x = 0$.

1) $4\cos^2 x + 4\sin x - 1 = 0$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$4(1 - \sin^2 x) + 4\sin x - 1 = 0$
$4 - 4\sin^2 x + 4\sin x - 1 = 0$
$-4\sin^2 x + 4\sin x + 3 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1:
$4\sin^2 x - 4\sin x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \le t \le 1$. Уравнение принимает вид:
$4t^2 - 4t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm 8}{8}$
$t_1 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$
$t_2 = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к замене $t = \sin x$.
1. $\sin x = 1.5$. Этот корень не удовлетворяет условию $-1 \le \sin x \le 1$, следовательно, решений в этом случае нет.
2. $\sin x = -\frac{1}{2}$. Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin^2 3x - 2,5\sin 6x + 1 = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\sin 6x = \sin(2 \cdot 3x) = 2\sin 3x \cos 3x$:
$3\sin^2 3x - 2.5(2\sin 3x \cos 3x) + 1 = 0$
$3\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + 1 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество, представив 1 как $\sin^2 3x + \cos^2 3x$:
$3\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + (\sin^2 3x + \cos^2 3x) = 0$
Приведем подобные члены:
$4\sin^2 3x - 5\sin 3x \cos 3x + \cos^2 3x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка. Проверим, не является ли $\cos 3x = 0$ решением. Если $\cos 3x = 0$, то из уравнения следует, что $4\sin^2 3x = 0$, то есть $\sin 3x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно ($\sin^2 3x + \cos^2 3x = 1$). Следовательно, $\cos 3x \ne 0$.
Разделим обе части уравнения на $\cos^2 3x$:
$\frac{4\sin^2 3x}{\cos^2 3x} - \frac{5\sin 3x \cos 3x}{\cos^2 3x} + \frac{\cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0$
$4\tan^2 3x - 5\tan 3x + 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tan 3x$:
$4y^2 - 5y + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$
$y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{8} = \frac{5 \pm 3}{8}$
$y_1 = \frac{5+3}{8} = 1$
$y_2 = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Вернемся к замене $y = \tan 3x$:
1. $\tan 3x = 1$
$3x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$
2. $\tan 3x = \frac{1}{4}$
$3x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{1}{3}\arctan(\frac{1}{4}) + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 9x + \sin 8x + \sin 7x = 0$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
$(\sin 9x + \sin 7x) + \sin 8x = 0$
$2\sin\left(\frac{9x+7x}{2}\right)\cos\left(\frac{9x-7x}{2}\right) + \sin 8x = 0$
$2\sin\left(\frac{16x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x}{2}\right) + \sin 8x = 0$
$2\sin 8x \cos x + \sin 8x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 8x$ за скобки:
$\sin 8x (2\cos x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Разобьем на два случая:
1. $\sin 8x = 0$
$8x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$
2. $2\cos x + 1 = 0$
$2\cos x = -1$
$\cos x = -\frac{1}{2}$
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.