Номер 1, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Упростите выражение:

1) $ \frac{\cos^2 6\alpha - 1}{1 - \sin^2 6\alpha} - \text{tg}12\alpha \text{ ctg}12\alpha $

2) $ \sin 8\alpha \cos 3\alpha - \cos 8\alpha \sin 3\alpha $

3) $ \frac{4\cos^2 7\alpha}{\sin 14\alpha} $;

4) $ \frac{\sin 14\alpha - \sin 10\alpha}{\cos 3\alpha - \cos 7\alpha} $;

5) $ \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) - \cos^2(\pi + 3\alpha) $;

6) $ 2\cos 8\alpha \cos 9\alpha - \cos 17\alpha $.

1) Упростим выражение $ \frac{\cos^2 6\alpha - 1}{1 - \sin^2 6\alpha} - \text{tg}12\alpha \cdot \text{ctg}12\alpha $.
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и свойство $ \text{tg}x \cdot \text{ctg}x = 1 $.
В числителе первой дроби: $ \cos^2 6\alpha - 1 = - (1 - \cos^2 6\alpha) = -\sin^2 6\alpha $.
В знаменателе первой дроби: $ 1 - \sin^2 6\alpha = \cos^2 6\alpha $.
Второе слагаемое: $ \text{tg}12\alpha \cdot \text{ctg}12\alpha = 1 $.
Подставляем полученные выражения обратно:
$ \frac{-\sin^2 6\alpha}{\cos^2 6\alpha} - 1 = -\left(\frac{\sin 6\alpha}{\cos 6\alpha}\right)^2 - 1 = -\text{tg}^2 6\alpha - 1 = -(1 + \text{tg}^2 6\alpha) $.
Используем тождество $ 1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} $.
Получаем: $ -\frac{1}{\cos^2 6\alpha} $.
Ответ: $ -\frac{1}{\cos^2 6\alpha} $.

2) Выражение $ \sin 8\alpha \cos 3\alpha - \cos 8\alpha \sin 3\alpha $ является формулой синуса разности двух углов: $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.
В данном случае $ A = 8\alpha $ и $ B = 3\alpha $.
Следовательно, выражение равно $ \sin(8\alpha - 3\alpha) = \sin(5\alpha) $.
Ответ: $ \sin 5\alpha $.

3) Упростим выражение $ \frac{4\cos^2 7\alpha}{\sin 14\alpha} $.
Используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $.
Применим ее к знаменателю: $ \sin 14\alpha = \sin(2 \cdot 7\alpha) = 2\sin 7\alpha \cos 7\alpha $.
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{4\cos^2 7\alpha}{2\sin 7\alpha \cos 7\alpha} $.
Сократим дробь на $ 2\cos 7\alpha $ (при условии, что $ \cos 7\alpha \neq 0 $):
$ \frac{2\cos 7\alpha}{\sin 7\alpha} = 2\text{ctg} 7\alpha $.
Ответ: $ 2\text{ctg} 7\alpha $.

4) Упростим выражение $ \frac{\sin 14\alpha - \sin 10\alpha}{\cos 3\alpha - \cos 7\alpha} $.
Для преобразования числителя и знаменателя в произведение используем формулы суммы и разности тригонометрических функций:
$ \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $
$ \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $.
Преобразуем числитель:
$ \sin 14\alpha - \sin 10\alpha = 2 \cos\frac{14\alpha+10\alpha}{2} \sin\frac{14\alpha-10\alpha}{2} = 2\cos(12\alpha)\sin(2\alpha) $.
Преобразуем знаменатель:
$ \cos 3\alpha - \cos 7\alpha = -2 \sin\frac{3\alpha+7\alpha}{2} \sin\frac{3\alpha-7\alpha}{2} = -2\sin(5\alpha)\sin(-2\alpha) $.
Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, то $ -2\sin(5\alpha)(-\sin(2\alpha)) = 2\sin(5\alpha)\sin(2\alpha) $.
Подставим преобразованные части в дробь:
$ \frac{2\cos(12\alpha)\sin(2\alpha)}{2\sin(5\alpha)\sin(2\alpha)} $.
Сократим на $ 2\sin(2\alpha) $ (при условии, что $ \sin(2\alpha) \neq 0 $):
$ \frac{\cos(12\alpha)}{\sin(5\alpha)} $.
Ответ: $ \frac{\cos(12\alpha)}{\sin(5\alpha)} $.

5) Упростим выражение $ \cos^2\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) - \cos^2(\pi + 3\alpha) $.
Применим формулы приведения:
$ \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x $, следовательно $ \cos\left(\frac{\pi}{2} - 3\alpha\right) = \sin(3\alpha) $.
$ \cos(\pi + x) = -\cos x $, следовательно $ \cos(\pi + 3\alpha) = -\cos(3\alpha) $.
Подставляем в исходное выражение:
$ (\sin(3\alpha))^2 - (-\cos(3\alpha))^2 = \sin^2(3\alpha) - \cos^2(3\alpha) $.
Вынесем минус за скобки: $ -(\cos^2(3\alpha) - \sin^2(3\alpha)) $.
Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $.
Получаем: $ -\cos(2 \cdot 3\alpha) = -\cos(6\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(6\alpha) $.

6) Упростим выражение $ 2 \cos 8\alpha \cos 9\alpha - \cos 17\alpha $.
Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $ 2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B) $.
В нашем случае $ A = 9\alpha $ и $ B = 8\alpha $.
$ 2 \cos 9\alpha \cos 8\alpha = \cos(9\alpha + 8\alpha) + \cos(9\alpha - 8\alpha) = \cos(17\alpha) + \cos(\alpha) $.
Подставим это в исходное выражение:
$ (\cos(17\alpha) + \cos\alpha) - \cos 17\alpha $.
Упрощаем: $ \cos 17\alpha + \cos\alpha - \cos 17\alpha = \cos\alpha $.
Ответ: $ \cos\alpha $.