Номер 3, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos(2x);$

2) $f(x) = \frac{\tan x - \cot x}{\cos x}.$

1)

Дана функция $f(x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x$.

Для исследования функции на чётность необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно нуля.

2. Должно выполняться одно из равенств: $f(-x) = f(x)$ (чётная функция) или $f(-x) = -f(x)$ (нечётная функция).

Найдём область определения $D(f)$. Выражения $x^4$, $\sin^2 x$ и $\cos 2x$ определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля.

Теперь найдём $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в уравнение функции:

$f(-x) = (-x)^4 + 4\sin^2(-x) \cos(2(-x))$

Используем свойства чётности и нечётности составляющих функций:

- Степенная функция с чётным показателем $y=x^4$ является чётной, поэтому $(-x)^4 = x^4$.

- Функция синус является нечётной, $\sin(-x) = -\sin x$. Тогда $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.

- Функция косинус является чётной, $\cos(-u) = \cos u$, поэтому $\cos(2(-x)) = \cos(-2x) = \cos(2x)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$f(-x) = x^4 + 4\sin^2 x \cos 2x$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2)

Дана функция $f(x) = \frac{\tg x - \ctg x}{\cos x}$.

1. Найдём область определения $D(f)$. Функция определена, если определены все входящие в неё выражения и знаменатель не равен нулю.

- $\tg x$ определён, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

- $\ctg x$ определён, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

- Знаменатель дроби $\cos x$ не равен нулю, что совпадает с первым условием.

Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции $D(f) = \{x \in \mathbb{R} | x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}\}$. Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x \neq \frac{\pi k}{2}$, то и $-x \neq -\frac{\pi k}{2}$.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{\tg(-x) - \ctg(-x)}{\cos(-x)}$

Используем свойства чётности и нечётности тригонометрических функций:

- $\tg(-x) = -\tg x$ (нечётная).

- $\ctg(-x) = -\ctg x$ (нечётная).

- $\cos(-x) = \cos x$ (чётная).

Подставим эти соотношения в выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{-\tg x - (-\ctg x)}{\cos x} = \frac{-\tg x + \ctg x}{\cos x} = \frac{-(\tg x - \ctg x)}{\cos x} = - \frac{\tg x - \ctg x}{\cos x}$

Сравнивая результат с исходной функцией, видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.