Номер 5, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Сравните значения выражений:

1) $\sin \frac{16\pi}{15}$ и $\sin \frac{17\pi}{16}$;

2) $\operatorname{ctg}\left(-\frac{4\pi}{7}\right)$ и $\operatorname{ctg}\left(-\frac{5\pi}{9}\right)$.

1) Сравним значения выражений $\sin\frac{16\pi}{15}$ и $\sin\frac{17\pi}{16}$.
Для начала преобразуем аргументы тригонометрических функций:
$\frac{16\pi}{15} = \pi + \frac{\pi}{15}$
$\frac{17\pi}{16} = \pi + \frac{\pi}{16}$
Оба угла находятся в третьей четверти. Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$:
$\sin\frac{16\pi}{15} = \sin(\pi + \frac{\pi}{15}) = -\sin\frac{\pi}{15}$
$\sin\frac{17\pi}{16} = \sin(\pi + \frac{\pi}{16}) = -\sin\frac{\pi}{16}$
Теперь задача сводится к сравнению значений $-\sin\frac{\pi}{15}$ и $-\sin\frac{\pi}{16}$. Для этого сначала сравним $\sin\frac{\pi}{15}$ и $\sin\frac{\pi}{16}$.
Сравним углы $\frac{\pi}{15}$ и $\frac{\pi}{16}$. Так как $15 < 16$, то $\frac{1}{15} > \frac{1}{16}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{15} > \frac{\pi}{16}$.
Оба угла $\frac{\pi}{15}$ и $\frac{\pi}{16}$ принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \sin x$ возрастает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Поскольку $\frac{\pi}{15} > \frac{\pi}{16}$, то $\sin\frac{\pi}{15} > \sin\frac{\pi}{16}$.
Умножив обе части этого неравенства на $-1$, мы должны изменить знак неравенства на противоположный:
$-\sin\frac{\pi}{15} < -\sin\frac{\pi}{16}$
Возвращаясь к исходным выражениям, получаем:
$\sin\frac{16\pi}{15} < \sin\frac{17\pi}{16}$
Ответ: $\sin\frac{16\pi}{15} < \sin\frac{17\pi}{16}$.

2) Сравним значения выражений $\mathrm{ctg}(-\frac{4\pi}{7})$ и $\mathrm{ctg}(-\frac{5\pi}{9})$.
Воспользуемся свойством нечетности функции котангенс: $\mathrm{ctg}(-x) = -\mathrm{ctg}(x)$.
$\mathrm{ctg}(-\frac{4\pi}{7}) = -\mathrm{ctg}\frac{4\pi}{7}$
$\mathrm{ctg}(-\frac{5\pi}{9}) = -\mathrm{ctg}\frac{5\pi}{9}$
Теперь нам нужно сравнить $-\mathrm{ctg}\frac{4\pi}{7}$ и $-\mathrm{ctg}\frac{5\pi}{9}$. Для этого сначала сравним $\mathrm{ctg}\frac{4\pi}{7}$ и $\mathrm{ctg}\frac{5\pi}{9}$.
Сравним углы $\frac{4\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{9}$. Приведем дроби $\frac{4}{7}$ и $\frac{5}{9}$ к общему знаменателю $63$:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 9}{7 \cdot 9} = \frac{36}{63}$
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 7}{9 \cdot 7} = \frac{35}{63}$
Так как $36 > 35$, то $\frac{36}{63} > \frac{35}{63}$, а значит $\frac{4\pi}{7} > \frac{5\pi}{9}$.
Оба угла, $\frac{4\pi}{7}$ и $\frac{5\pi}{9}$, находятся во второй четверти, то есть принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$. На всем интервале $(0; \pi)$ функция $y = \mathrm{ctg} x$ убывает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Поскольку $\frac{4\pi}{7} > \frac{5\pi}{9}$, то $\mathrm{ctg}(\frac{4\pi}{7}) < \mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{9})$.
Умножив обе части неравенства на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный:
$-\mathrm{ctg}(\frac{4\pi}{7}) > -\mathrm{ctg}(\frac{5\pi}{9})$
Следовательно,
$\mathrm{ctg}(-\frac{4\pi}{7}) > \mathrm{ctg}(-\frac{5\pi}{9})$
Ответ: $\mathrm{ctg}(-\frac{4\pi}{7}) > \mathrm{ctg}(-\frac{5\pi}{9})$.