Номер 6, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Решите уравнение:

1) $\sqrt[3]{x+7} - \sqrt[6]{x+7} = 2$;

2) $\sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = 2$.

1) $\sqrt[3]{x+7} - \sqrt[6]{x+7} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени (шестой) должно быть неотрицательным:
$x + 7 \ge 0$
$x \ge -7$

Для решения уравнения введем замену. Пусть $t = \sqrt[6]{x+7}$.
Так как корень четной степени не может быть отрицательным, то $t \ge 0$.
Тогда $\sqrt[3]{x+7} = (\sqrt[6]{x+7})^2 = t^2$.
Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 - t = 2$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета находим корни:
$t_1 + t_2 = 1$
$t_1 \cdot t_2 = -2$
Отсюда $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = 2$ подходит, так как $2 \ge 0$.
Корень $t_2 = -1$ является посторонним, так как $-1 < 0$.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t=2$:
$\sqrt[6]{x+7} = 2$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:
$(\sqrt[6]{x+7})^6 = 2^6$
$x+7 = 64$
$x = 64 - 7$
$x = 57$

Полученный корень $x=57$ удовлетворяет ОДЗ ($57 \ge -7$).

Ответ: 57

2) $\sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаками квадратных корней должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x \ge 2$.

Для решения уединим один из корней. Перенесем $\sqrt{x-2}$ в правую часть уравнения:
$\sqrt{x+6} = 2 + \sqrt{x-2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x+6})^2 = (2 + \sqrt{x-2})^2$
$x+6 = 4 + 4\sqrt{x-2} + (x-2)$
$x+6 = x + 2 + 4\sqrt{x-2}$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:
$x+6 - x - 2 = 4\sqrt{x-2}$
$4 = 4\sqrt{x-2}$

Разделим обе части на 4:
$1 = \sqrt{x-2}$

Снова возведем обе части в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{x-2})^2$
$1 = x-2$
$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge 2$).
$3 \ge 2$, следовательно, корень подходит.

Выполним проверку, подставив $x=3$ в исходное уравнение:
$\sqrt{3+6} - \sqrt{3-2} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$
$2 = 2$
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 3