Номер 4, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

4. Сократите дробь:

1) $\frac{a^{\frac{5}{6}} - 9a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 9}$;

2) $\frac{a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}}$;

3) $\frac{4x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}}}$.

1) Исходная дробь: $ \frac{a - 9a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} - 9} $.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{5}{6}} $. Для этого представим $ a $ как $ a^1 = a^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{1}{6}} $.
Получаем: $ a - 9a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9) $.
Теперь подставим это выражение обратно в дробь:
$ \frac{a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9)}{a^{\frac{1}{6}} - 9} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a^{\frac{1}{6}} - 9) $, при условии, что он не равен нулю.
$ \frac{a^{\frac{5}{6}}(a^{\frac{1}{6}} - 9)}{a^{\frac{1}{6}} - 9} = a^{\frac{5}{6}} $.
Ответ: $ a^{\frac{5}{6}} $.

2) Исходная дробь: $ \frac{a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}} $.
Числитель представляет собой разность квадратов, так как $ a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 $ и $ 9b^{\frac{1}{6}} = (3b^{\frac{1}{12}})^2 $.
Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $:
$ a^{\frac{1}{3}} - 9b^{\frac{1}{6}} = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (3b^{\frac{1}{12}})^2 = (a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}) $.
Подставим разложенный на множители числитель в дробь:
$ \frac{(a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}})}{a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a^{\frac{1}{6}} + 3b^{\frac{1}{12}}) $:
$ a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}} $.
Ответ: $ a^{\frac{1}{6}} - 3b^{\frac{1}{12}} $.

3) Исходная дробь: $ \frac{4x^{\frac{1}{4}} - 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{3}}}{2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}}} $.
Преобразуем числитель. Он является полным квадратом разности $ (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2 $.
В нашем случае $ A = 2x^{\frac{1}{8}} $ и $ B = y^{\frac{1}{6}} $. Проверим:
$ A^2 = (2x^{\frac{1}{8}})^2 = 4x^{\frac{1}{4}} $.
$ B^2 = (y^{\frac{1}{6}})^2 = y^{\frac{1}{3}} $.
$ 2AB = 2 \cdot 2x^{\frac{1}{8}} \cdot y^{\frac{1}{6}} = 4x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} $.
Таким образом, числитель равен $ (2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})^2 $.
Теперь преобразуем знаменатель, вынеся за скобки общий множитель $ x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}} $:
$ 2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}}) = x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}) $.
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})^2}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}(2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}})} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}) $:
$ \frac{2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}} $.
Ответ: $ \frac{2x^{\frac{1}{8}} - y^{\frac{1}{6}}}{x^{\frac{1}{8}}y^{\frac{1}{6}}} $.