Номер 2, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Определите знак выражения:

1) $\sin 181^\circ \cos(-302^\circ)\operatorname{tg} 260^\circ$;

2) $\cos \left(-\frac{5\pi}{9}\right) \operatorname{tg} \frac{7\pi}{5}$.

1) sin181°cos(-302°)tg260°
Чтобы определить знак всего выражения, определим знак каждого множителя по отдельности, используя тригонометрическую окружность.
1. Определим знак $sin181°$. Угол $181°$ находится в третьей четверти, так как $180° < 181° < 270°$. Синус в третьей четверти имеет знак минус. Следовательно, $sin181° < 0$.
2. Определим знак $cos(-302°)$. Функция косинуса является четной, поэтому $cos(-302°) = cos(302°)$. Угол $302°$ находится в четвертой четверти, так как $270° < 302° < 360°$. Косинус в четвертой четверти имеет знак плюс. Следовательно, $cos(-302°) > 0$.
3. Определим знак $tg260°$. Угол $260°$ находится в третьей четверти, так как $180° < 260° < 270°$. Тангенс в третьей четверти имеет знак плюс. Следовательно, $tg260° > 0$.
Теперь перемножим знаки: $(-) \cdot (+) \cdot (+) = (-)$.
Таким образом, все выражение имеет отрицательный знак.
Ответ: знак выражения отрицательный (минус).

2) cos($\frac{5\pi}{9}$)tg($\frac{7\pi}{5}$)
Определим знак каждого множителя.
1. Определим знак $cos(\frac{5\pi}{9})$. Чтобы определить четверть, сравним угол с $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.
$\frac{\pi}{2} = \frac{4.5\pi}{9}$ и $\pi = \frac{9\pi}{9}$.
Поскольку $\frac{4.5\pi}{9} < \frac{5\pi}{9} < \frac{9\pi}{9}$, угол $\frac{5\pi}{9}$ находится во второй четверти. Косинус во второй четверти имеет знак минус. Следовательно, $cos(\frac{5\pi}{9}) < 0$.
2. Определим знак $tg(\frac{7\pi}{5})$. Сравним угол с $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.
$\pi = \frac{5\pi}{5}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5}$.
Поскольку $\frac{5\pi}{5} < \frac{7\pi}{5} < \frac{7.5\pi}{5}$, угол $\frac{7\pi}{5}$ находится в третьей четверти. Тангенс в третьей четверти имеет знак плюс. Следовательно, $tg(\frac{7\pi}{5}) > 0$.
Теперь перемножим знаки: $(-) \cdot (+) = (-)$.
Таким образом, все выражение имеет отрицательный знак.
Ответ: знак выражения отрицательный (минус).