Номер 2, страница 162 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Упростите выражение:

1) $a^{0,9} \cdot a^{2,4};$

2) $a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}};$

3) $(a^3)^{-0,4} \cdot (a^{-5})^{-0,2} : (a^{-0,7})^6;$

4) $(a^{1\frac{4}{7}} b^{\frac{3}{14}})^{\frac{2}{11}}.$

1) Для упрощения выражения $a^{0,9} \cdot a^{2,4}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

$a^{0,9} \cdot a^{2,4} = a^{0,9 + 2,4} = a^{3,3}$

Ответ: $a^{3,3}$

2) Для упрощения выражения $a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

$a^{\frac{17}{18}} : a^{-\frac{1}{12}} = a^{\frac{17}{18} - (-\frac{1}{12})} = a^{\frac{17}{18} + \frac{1}{12}}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 12 равен 36.

$\frac{17}{18} + \frac{1}{12} = \frac{17 \cdot 2}{36} + \frac{1 \cdot 3}{36} = \frac{34}{36} + \frac{3}{36} = \frac{34 + 3}{36} = \frac{37}{36}$

Таким образом, итоговое выражение равно $a^{\frac{37}{36}}$.

Ответ: $a^{\frac{37}{36}}$

3) Упростим выражение $(a^3)^{-0,4} \cdot (a^{-5})^{-0,2} : (a^{-0,7})^6$, используя следующие свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), при умножении степеней показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении – вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Сначала упростим каждый множитель и делитель:

$(a^3)^{-0,4} = a^{3 \cdot (-0,4)} = a^{-1,2}$

$(a^{-5})^{-0,2} = a^{-5 \cdot (-0,2)} = a^1 = a$

$(a^{-0,7})^6 = a^{-0,7 \cdot 6} = a^{-4,2}$

Теперь объединим все части в одно выражение:

$a^{-1,2} \cdot a^1 : a^{-4,2} = a^{-1,2 + 1 - (-4,2)} = a^{-0,2 + 4,2} = a^4$

Ответ: $a^4$

4) Для упрощения выражения $(a^{1\frac{4}{7}}b^{\frac{3}{14}})^{2\frac{6}{11}}$ воспользуемся свойством возведения произведения в степень ($(xy)^n = x^n y^n$) и свойством возведения степени в степень ($(x^m)^n = x^{m \cdot n}$).

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$1\frac{4}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

$2\frac{6}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 6}{11} = \frac{28}{11}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$(a^{\frac{11}{7}}b^{\frac{3}{14}})^{\frac{28}{11}} = (a^{\frac{11}{7}})^{\frac{28}{11}} \cdot (b^{\frac{3}{14}})^{\frac{28}{11}}$

Теперь возведем в степень каждый множитель отдельно:

Для $a$: $a^{\frac{11}{7} \cdot \frac{28}{11}} = a^{\frac{28}{7}} = a^4$

Для $b$: $b^{\frac{3}{14} \cdot \frac{28}{11}} = b^{\frac{3 \cdot 2}{11}} = b^{\frac{6}{11}}$

Объединив результаты, получаем:

$a^4 b^{\frac{6}{11}}$

Ответ: $a^4 b^{\frac{6}{11}}$