Номер 3, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Решите уравнение:

1) $64x^3 + 27 = 0$;

2) $(x-3)^5 = 32$;

3) $(2x + 7)^4 = 81$;

4) $\sqrt[3]{x-1} = -5$;

5) $\sqrt[4]{x+1} = -3$;

6) $\sqrt[5]{x^4 + 16} = 2$.

1) $64x^3 + 27 = 0$

Перенесем 27 в правую часть уравнения:

$64x^3 = -27$

Разделим обе части на 64:

$x^3 = -\frac{27}{64}$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-\frac{27}{64}}$

$x = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

$x = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

2) $(x - 3)^5 = 32$

Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:

$\sqrt[5]{(x - 3)^5} = \sqrt[5]{32}$

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

$x - 3 = 2$

Перенесем -3 в правую часть:

$x = 2 + 3$

$x = 5$

Ответ: 5.

3) $(2x + 7)^4 = 81$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как показатель степени четный, то выражение под знаком корня в левой части становится модулем:

$\sqrt[4]{(2x + 7)^4} = \sqrt[4]{81}$

$|2x + 7| = 3$

Это уравнение равносильно двум линейным уравнениям:

1. $2x + 7 = 3$

$2x = 3 - 7$

$2x = -4$

$x_1 = -2$

2. $2x + 7 = -3$

$2x = -3 - 7$

$2x = -10$

$x_2 = -5$

Ответ: -5; -2.

4) $\sqrt[3]{x - 1} = -5$

Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от кубического корня:

$(\sqrt[3]{x - 1})^3 = (-5)^3$

$x - 1 = -125$

Перенесем -1 в правую часть:

$x = -125 + 1$

$x = -124$

Ответ: -124.

5) $\sqrt[4]{x + 1} = -3$

Арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) по определению является неотрицательным числом. Это означает, что левая часть уравнения $\sqrt[4]{x + 1}$ всегда больше или равна нулю ($\sqrt[4]{x + 1} \ge 0$) для всех допустимых значений $x$. Правая часть уравнения равна -3.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет.

6) $\sqrt[5]{x^4 + 16} = 2$

Возведем обе части уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{x^4 + 16})^5 = 2^5$

$x^4 + 16 = 32$

Перенесем 16 в правую часть:

$x^4 = 32 - 16$

$x^4 = 16$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Так как показатель степени четный, получаем два противоположных по знаку решения:

$x = \pm \sqrt[4]{16}$

$x = \pm 2$

Ответ: -2; 2.