Номер 6, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. На рисунке 31 изображена часть графика чётной функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-6; 6]$. Достройте график этой функции и найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке $[-6; 6]$.

Рис. 31

Достройте график этой функции

По условию, функция $y = f(x)$ является чётной. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $y$). Это означает, что для любого $x$ из области определения функции $[-6; 6]$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Нам дана часть графика на промежутке $x \in [-6; 0]$. Чтобы достроить график для $x \in [0; 6]$, мы должны симметрично отразить данную часть графика относительно оси $y$.

Для этого определим координаты ключевых точек на правой части графика, которые будут симметричны точкам на известной левой части:

• Точке $(-6; 3)$ соответствует симметричная точка $(6; 3)$.
• Точке локального максимума $(-5; 4)$ соответствует симметричная точка локального максимума $(5; 4)$.
• Точке пересечения с осью абсцисс $(-3; 0)$ соответствует симметричная точка $(3; 0)$.
• Точке локального минимума $(-2; -1)$ соответствует симметричная точка локального минимума $(2; -1)$.
• Точка пересечения с осью ординат $(0; 1)$ лежит на оси симметрии и остаётся на своём месте.

Соединив эти новые точки плавной кривой, мы получим полный график функции на всём промежутке $[-6; 6]$.

Найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке [-6; 6]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции проанализируем построенный полный график.

Наибольшее значение функции — это максимальная ордината (значение $y$) на графике. Из графика видно, что самые высокие точки имеют координаты $(-5; 4)$ и $(5; 4)$. Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке $[-6; 6]$ равно 4.

Наименьшее значение функции — это минимальная ордината ($y$) на графике. Из графика видно, что самые низкие точки имеют координаты $(-2; -1)$ и $(2; -1)$. Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке $[-6; 6]$ равно -1.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $[-6; 6]$ равно 4; наименьшее значение функции на том же промежутке равно -1.