Номер 2, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = x^4 - 2x^2 + 3$;

2) $y = x^5 - 3x^3 + 2$;

3) $y = \frac{2x}{5-x^6}$;

4) $y = \frac{x+2}{x^2+2x}$.

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо выполнить два шага:

1. Проверить, является ли область определения функции $D(f)$ симметричной относительно начала координат. То есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$. Если область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
2. Если область определения симметрична, нужно найти значение $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$:
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция чётная.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечётная.
   • Если не выполняется ни одно из этих равенств (хотя бы для одного значения $x$), то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

Рассмотрим функцию $y = x^4 - 2x^2 + 3$. Обозначим $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3$.

Сравним $f(-x)$ и $f(x)$:

$f(-x) = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

Рассмотрим функцию $y = x^5 - 3x^3 + 2$. Обозначим $f(x) = x^5 - 3x^3 + 2$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область симметрична.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 - 3(-x)^3 + 2 = -x^5 - 3(-x^3) + 2 = -x^5 + 3x^3 + 2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = x^5 - 3x^3 + 2$. Очевидно, $f(-x) \neq f(x)$.

$-f(x) = -(x^5 - 3x^3 + 2) = -x^5 + 3x^3 - 2$.

Сравнивая $f(-x) = -x^5 + 3x^3 + 2$ и $-f(x) = -x^5 + 3x^3 - 2$, видим, что $f(-x) \neq -f(x)$ из-за свободного члена ($2 \neq -2$).

Так как не выполняется ни условие чётности, ни условие нечётности, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

Рассмотрим функцию $y = \frac{2x}{5 - x^6}$. Обозначим $f(x) = \frac{2x}{5 - x^6}$.

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $5 - x^6 \neq 0 \implies x^6 \neq 5 \implies x \neq \pm \sqrt[6]{5}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt[6]{5}) \cup (-\sqrt[6]{5}; \sqrt[6]{5}) \cup (\sqrt[6]{5}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{2(-x)}{5 - (-x)^6} = \frac{-2x}{5 - x^6}$.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -\left(\frac{2x}{5 - x^6}\right) = \frac{-2x}{5 - x^6}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

Рассмотрим функцию $y = \frac{x + 2}{x^2 + 2x}$. Обозначим $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 2x}$.

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + 2x \neq 0 \implies x(x + 2) \neq 0$.

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x=2$ входит в область определения, а точка $x=-2$ — не входит.

Поскольку область определения функции несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.