Номер 316, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

316. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^3 - 2x^2$;

2) $f(x) = x^4 + 2x^2 - 3$;

3) $f(x) = (x - 3)^3 (x + 1)^2$;

4) $f(x) = \frac{8x}{x^2 + 16}$;

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x - 3}$;

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$.

1) $f(x) = x^3 - 2x^2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.

   Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)^2 = -x^3 - 2x^2$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = 0^3 - 2(0)^2 = 0$. Точка (0, 0).

   • С осью Ox: $y=0 \Rightarrow x^3 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x-2) = 0$. Корни $x=0$ и $x=2$. Точки (0, 0) и (2, 0).

4. Асимптоты.

   Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой. Наклонных асимптот вида $y=kx+b$ тоже нет, так как $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (x^2 - 2x) = \infty$.

5. Производная и критические точки.

   Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 2x^2)' = 3x^2 - 4x$.

   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(3x-4)=0$. Критические точки: $x_1=0$, $x_2=4/3$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

   • $(-\infty; 0)$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) = 7 > 0$, функция возрастает.

   • $(0; 4/3)$: $f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) = -1 < 0$, функция убывает.

   • $(4/3; +\infty)$: $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) = 4 > 0$, функция возрастает.

   В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 0$.

   В точке $x=4/3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(4/3) = (4/3)^3 - 2(4/3)^2 = 64/27 - 32/9 = -32/27$.

7. Вторая производная, выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 4x)' = 6x - 4$.

   Найдем точки, где $f''(x)=0$: $6x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2/3$.

   • $(-\infty; 2/3)$: $f''(0) = -4 < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

   • $(2/3; +\infty)$: $f''(1) = 2 > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

   Точка $x=2/3$ является точкой перегиба. $y(2/3) = (2/3)^3 - 2(2/3)^2 = 8/27 - 8/9 = -16/27$.

Построение графика.

На основе полученных данных строим график. График выходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума (0, 0), затем убывает до точки минимума (4/3, -32/27), меняя направление выпуклости в точке перегиба (2/3, -16/27), после минимума возрастает, пересекает ось Ox в точке (2, 0) и уходит в $+\infty$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [4/3; +\infty)$, убывает на $[0; 4/3]$. Точка максимума (0, 0), точка минимума (4/3, -32/27). График выпуклый вверх на $(-\infty; 2/3)$ и выпуклый вниз на $(2/3; +\infty)$. Точка перегиба (2/3, -16/27). График пересекает оси в точках (0, 0) и (2, 0).

2) $f(x) = x^4 + 2x^2 - 3$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = (-x)^4 + 2(-x)^2 - 3 = x^4 + 2x^2 - 3 = f(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = -3$. Точка (0, -3).

   • С осью Ox: $y=0 \Rightarrow x^4 + 2x^2 - 3 = 0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2+2t-3=0$. Корни $t_1=1, t_2=-3$. $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$. $x^2=-3$ не имеет действительных корней. Точки (-1, 0) и (1, 0).

4. Асимптоты. Вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = 4x^3 + 4x = 4x(x^2+1)$. $f'(x)=0 \Rightarrow 4x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   • $(-\infty; 0)$: $f'(-1) = -8 < 0$, функция убывает.

   • $(0; +\infty)$: $f'(1) = 8 > 0$, функция возрастает.

   В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = f(0) = -3$.

7. Вторая производная, выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $f''(x) = (4x^3 + 4x)' = 12x^2 + 4$. Так как $12x^2+4 > 0$ для всех $x$, график функции всегда выпуклый вниз (выпуклый). Точек перегиба нет.

Построение графика.

График симметричен относительно оси Oy. Он убывает из $+\infty$ до точки минимума (0, -3), пересекая ось Ox в точке (-1, 0). Затем график возрастает из точки минимума (0, -3), пересекая ось Ox в точке (1, 0) и уходит в $+\infty$. График напоминает букву W с сглаженным дном.

Ответ: Функция четная. Убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$. Точка минимума (0, -3). График всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет. Пересечение с осями: (-1, 0), (1, 0), (0, -3).

3) $f(x) = (x-3)^3(x+1)^2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Четность и нечетность. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = (-3)^3(1)^2 = -27$. Точка (0, -27).

   • С осью Ox: $y=0 \Rightarrow (x-3)^3(x+1)^2 = 0$. Корни $x=3$ (кратность 3) и $x=-1$ (кратность 2). Точки (3, 0) и (-1, 0). В точке (-1, 0) график касается оси, а в точке (3, 0) пересекает ее.

4. Асимптоты. Асимптот нет. $\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = 3(x-3)^2(x+1)^2 + (x-3)^3 \cdot 2(x+1) = (x-3)^2(x+1)[3(x+1)+2(x-3)] = (x-3)^2(x+1)(5x-3)$. Критические точки: $x=-1, x=3/5, x=3$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(x+1)(5x-3)$ (кроме точки $x=3$).

   • $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

   • $(-1; 3/5)$: $f'(x) < 0$, убывает.

   • $(3/5; +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает (включая точку $x=3$).

   $x=-1$ — точка максимума. $y_{max}=f(-1)=0$.

   $x=3/5$ — точка минимума. $y_{min}=f(3/5) = (3/5-15/5)^3(3/5+5/5)^2 = (-12/5)^3(8/5)^2 = -110592/3125 \approx -35.4$.

   $x=3$ не является точкой экстремума, так как производная не меняет знак.

7. Вторая производная и точки перегиба. $f''(x) = (5x^4 - 28x^3 + 30x^2 + 36x - 27)' = 20x^3 - 84x^2 + 60x + 36 = 4(5x^3 - 21x^2 + 15x + 9)$. Корни $f''(x)=0$: $x=3$ и $x = \frac{3 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. $x_1 \approx -0.38$, $x_2 \approx 1.58$, $x_3=3$. Это точки перегиба.

Построение графика.

График идет из $-\infty$, возрастает до максимума в точке (-1, 0), затем убывает до минимума в точке (0.6, -35.4), пересекая ось Oy в (0, -27). После минимума функция возрастает, пересекая ось Ox в точке (3, 0), где имеется точка перегиба с горизонтальной касательной, и уходит в $+\infty$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -1] \cup [3/5; +\infty)$, убывает на $[-1; 3/5]$. Точка максимума (-1, 0), точка минимума $(3/5, -110592/3125)$. Точки перегиба при $x=3$ и $x = (3 \pm 2\sqrt{6})/5$.

4) $f(x) = \frac{8x}{x^2+16}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель $x^2+16 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{8(-x)}{(-x)^2+16} = -\frac{8x}{x^2+16} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$. График проходит через начало координат (0, 0).

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{8x}{x^2+16} = 0$, следовательно $y=0$ — горизонтальная асимптота.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = \frac{8(x^2+16) - 8x(2x)}{(x^2+16)^2} = \frac{8x^2+128-16x^2}{(x^2+16)^2} = \frac{128-8x^2}{(x^2+16)^2} = \frac{8(16-x^2)}{(x^2+16)^2}$. $f'(x)=0 \Rightarrow 16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm4$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Знак $f'(x)$ определяется знаком $16-x^2$.

   • $(-\infty; -4)$: $f'(x) < 0$, убывает.

   • $(-4; 4)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

   • $(4; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

   $x=-4$ — точка минимума. $y_{min}=f(-4) = -32/32 = -1$.

   $x=4$ — точка максимума. $y_{max}=f(4) = 32/32 = 1$.

7. Вторая производная и точки перегиба. $f''(x) = \frac{-16x(48-x^2)}{(x^2+16)^3}$. $f''(x)=0 \Rightarrow x=0$ или $x^2=48 \Rightarrow x=\pm\sqrt{48}=\pm4\sqrt{3}$. Точки перегиба: $x=0, x=\pm4\sqrt{3}$.

Построение графика.

График симметричен относительно начала координат. При $x \to -\infty$ график приближается к оси Ox снизу. Функция убывает до точки минимума (-4, -1), затем возрастает, проходит через точку перегиба $(-4\sqrt{3}, -\sqrt{3}/2)$ и начало координат (0, 0), которое также является точкой перегиба. Далее возрастает до точки максимума (4, 1), проходит через точку перегиба $(4\sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$, после чего убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox сверху при $x \to +\infty$.

Ответ: Функция нечетная. Убывает на $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$, возрастает на $[-4; 4]$. Точка минимума (-4, -1), точка максимума (4, 1). Горизонтальная асимптота $y=0$. Точки перегиба: $(0,0)$, $(\pm 4\sqrt{3}, \pm\sqrt{3}/2)$.

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x - 3}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $x^2-2x-3 \neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) \neq 0$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = -1/3$. Точка (0, -1/3).

   • С осью Ox: $y=0 \Rightarrow 1=0$, нет решений. График не пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.

   • Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=3$.

   • Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2-2x-3} = 0$, следовательно $y=0$.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = -\frac{2x-2}{(x^2-2x-3)^2} = \frac{2(1-x)}{(x^2-2x-3)^2}$. $f'(x)=0 \Rightarrow 1-x=0 \Rightarrow x=1$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Знак $f'(x)$ определяется знаком $1-x$.

   • $(-\infty; -1) \cup (-1; 1)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

   • $(1; 3) \cup (3; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

   $x=1$ — точка максимума. $y_{max}=f(1) = 1/(1-2-3) = -1/4$.

7. Вторая производная и выпуклость. $f''(x) = \frac{2(3x^2-6x+7)}{(x^2-2x-3)^3}$. Числитель $3x^2-6x+7>0$ для всех $x$. Знак $f''(x)$ зависит от знака знаменателя $(x^2-2x-3)^3$.

   • $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$: $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.

   • $(-1; 3)$: $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.

   Точек перегиба нет.

Построение графика.

График состоит из трех ветвей. Левая ветвь ($x<-1$): от $y=0$ до $+\infty$ вдоль асимптоты $x=-1$. Средняя ветвь ($-1<x<3$): от $-\infty$ вдоль $x=-1$ до максимума в (1, -1/4), затем до $-\infty$ вдоль $x=3$. Правая ветвь ($x>3$): от $+\infty$ вдоль $x=3$ до $y=0$.

Ответ: Область определения $x \neq -1, x \neq 3$. Вертикальные асимптоты $x=-1, x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$, убывает на $[1, 3) \cup (3, \infty)$. Точка максимума (1, -1/4). График выпуклый вниз на $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$, выпуклый вверх на $(-1, 3)$.

6) $f(x) = \frac{x}{x^2-9}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $x^2-9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2-9} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$. График проходит через начало координат (0, 0).

4. Асимптоты.

   • Вертикальные асимптоты: $x=-3$ и $x=3$.

   • Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-9} = 0$, следовательно $y=0$.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = \frac{1(x^2-9)-x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2} = -\frac{x^2+9}{(x^2-9)^2}$. Так как $x^2+9>0$ и $(x^2-9)^2 \ge 0$, то $f'(x) < 0$ на всей области определения. Критических точек (где $f'(x)=0$) нет.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума. Функция всегда убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$. Точек экстремума нет.

7. Вторая производная и точки перегиба. $f''(x) = \frac{2x(x^2+27)}{(x^2-9)^3}$. $f''(x)=0 \Rightarrow x=0$. Точка перегиба $x=0$.

   • $(-\infty; -3) \cup (0; 3)$: $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.

   • $(-3; 0) \cup (3; +\infty)$: $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.

Построение графика.

График состоит из трех убывающих ветвей и симметричен относительно начала координат. Левая ветвь ($x<-3$): от $y=0$ до $-\infty$ вдоль $x=-3$. Средняя ветвь ($-3<x<3$): от $+\infty$ вдоль $x=-3$, проходит через точку перегиба (0, 0) и уходит к $-\infty$ вдоль $x=3$. Правая ветвь ($x>3$): от $+\infty$ вдоль $x=3$ до $y=0$.

Ответ: Функция нечетная. Область определения $x \neq \pm 3$. Вертикальные асимптоты $x=-3, x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Функция убывает на всей области определения. Экстремумов нет. Точка перегиба (0, 0). График выпуклый вверх на $(-\infty, -3) \cup (0, 3)$, выпуклый вниз на $(-3, 0) \cup (3, \infty)$.