gdz.top
Номер 311, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 3. Применение производной при нахождении наибольшего и наименьшего значений функции - номер 311, страница 158.
№310
№311 (с. 158)
Условие. №311 (с. 158)
311. Представьте число 80 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
Решение. №311 (с. 158)
Пусть искомые два положительных числа — это $x$ и $y$.
По условию задачи, их сумма равна 80:
$x + y = 80$
Из этого уравнения мы можем выразить $y$ через $x$:
$y = 80 - x$
Так как оба числа положительные, то $x > 0$ и $y > 0$, откуда следует, что $80 - x > 0$, то есть $x < 80$. Таким образом, $0 < x < 80$.
Нам нужно найти наименьшее значение суммы их квадратов. Обозначим эту сумму как $S$:
$S = x^2 + y^2$
Подставим выражение для $y$ в формулу для $S$, чтобы получить функцию от одной переменной $x$:
$S(x) = x^2 + (80 - x)^2$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$S(x) = x^2 + (80^2 - 2 \cdot 80 \cdot x + x^2)$
$S(x) = x^2 + 6400 - 160x + x^2$
$S(x) = 2x^2 - 160x + 6400$
Мы получили квадратичную функцию. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен. Следовательно, эта функция имеет точку минимума.
Минимальное значение квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ достигается в вершине параболы, абсцисса которой находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$.
Для нашей функции $S(x) = 2x^2 - 160x + 6400$ имеем: $a = 2$, $b = -160$.
Найдем значение $x$, при котором сумма квадратов будет наименьшей:
$x = -(-160) / (2 \cdot 2) = 160 / 4 = 40$
Это значение удовлетворяет условию $0 < 40 < 80$.
Теперь найдем второе число $y$:
$y = 80 - x = 80 - 40 = 40$
Таким образом, число 80 нужно представить в виде суммы двух чисел: 40 и 40. Оба числа положительны, и сумма их квадратов $40^2 + 40^2 = 1600 + 1600 = 3200$ будет наименьшей.
Ответ: 40 и 40.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 311 расположенного на странице 158 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №311 (с. 158), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.