Номер 304, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

304. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^6 + 3x^5 - 14$;

2) $f(x) = (x+3)^2(x-1)^2$.

1) $f(x) = x^6 + 3x^5 - 14$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, необходимо исследовать первую производную функции.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^6 + 3x^5 - 14)' = 6x^5 + 15x^4$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^5 + 15x^4 = 0$

$3x^4(2x + 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2.5$. Это стационарные точки.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, -2.5)$, $(-2.5, 0)$ и $(0, +\infty)$. Для этого выберем по одной точке из каждого интервала и подставим в выражение для производной.

• На интервале $(-\infty, -2.5)$, возьмем $x = -3$: $f'(-3) = 3(-3)^4(2(-3) + 5) = 3 \cdot 81 \cdot (-1) < 0$. Следовательно, функция убывает на $(-\infty, -2.5]$.
• На интервале $(-2.5, 0)$, возьмем $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^4(2(-1) + 5) = 3 \cdot 1 \cdot 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[-2.5, 0]$.
• На интервале $(0, +\infty)$, возьмем $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^4(2(1) + 5) = 3 \cdot 1 \cdot 7 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[0, +\infty)$.

Объединяя интервалы возрастания, получаем, что функция возрастает на $[-2.5, +\infty)$.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = -2.5$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума.

Значение функции в точке минимума:

$f_{min} = f(-2.5) = (-2.5)^6 + 3(-2.5)^5 - 14 = (-\frac{5}{2})^6 + 3(-\frac{5}{2})^5 - 14 = \frac{15625}{64} - \frac{9375}{32} - 14 = \frac{15625 - 18750 - 896}{64} = -\frac{4021}{64}$.

В точке $x = 0$ производная не меняет знак (остается положительной), поэтому $x = 0$ не является точкой экстремума.

Ответ: промежуток возрастания: $[-2.5, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, -2.5]$; точка минимума $x_{min} = -2.5$.

2) $f(x) = (x + 3)^2(x - 1)^2$

Проведем исследование функции аналогично предыдущему пункту.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Удобно использовать правило производной произведения $f'(x) = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+3)^2)'(x-1)^2 + (x+3)^2((x-1)^2)'$

$f'(x) = 2(x+3)(x-1)^2 + 2(x-1)(x+3)^2$

Вынесем общий множитель $2(x+3)(x-1)$ за скобки:

$f'(x) = 2(x+3)(x-1) \cdot ((x-1) + (x+3)) = 2(x+3)(x-1)(2x+2) = 4(x+3)(x+1)(x-1)$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4(x+3)(x+1)(x-1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$. Это стационарные точки.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -3)$, возьмем $x = -4$: $f'(-4) = 4(-1)(-3)(-5) < 0$. Функция убывает на $(-\infty, -3]$.
• На интервале $(-3, -1)$, возьмем $x = -2$: $f'(-2) = 4(1)(-1)(-3) > 0$. Функция возрастает на $[-3, -1]$.
• На интервале $(-1, 1)$, возьмем $x = 0$: $f'(0) = 4(3)(1)(-1) < 0$. Функция убывает на $[-1, 1]$.
• На интервале $(1, +\infty)$, возьмем $x = 2$: $f'(2) = 4(5)(3)(1) > 0$. Функция возрастает на $[1, +\infty)$.

5. Определим точки экстремума и значения функции в них.

• В точке $x = -3$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $f_{min} = f(-3) = (-3+3)^2(-3-1)^2 = 0$.
• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. $f_{max} = f(-1) = (-1+3)^2(-1-1)^2 = 2^2 \cdot (-2)^2 = 16$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $f_{min} = f(1) = (1+3)^2(1-1)^2 = 0$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-3, -1]$ и $[1, +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty, -3]$ и $[-1, 1]$; точки минимума $x_{min} = -3$, $x_{min} = 1$; точка максимума $x_{max} = -1$.