Номер 309, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2$, $[-1; 4]$

2) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1$, $[-4; 0]$

3) $f(x) = x^4 + 3x^2 - 1$, $[2; 3]$

4) $f(x) = \frac{x^2+12}{x-2}$, $[-3; 1]$

1) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2$ на промежутке $[-1; 4]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{2}{3}x^3 - 3x^2)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = 2x^2 - 6x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$2x^2 - 6x = 0$

$2x(x - 3) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному промежутку $[-1; 4]$.

Обе точки $x=0$ и $x=3$ принадлежат отрезку $[-1; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 3(-1)^2 = -\frac{2}{3} - 3 = -3\frac{2}{3}$.

$f(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - 3(0)^2 = 0$.

$f(3) = \frac{2}{3}(3)^3 - 3(3)^2 = \frac{2}{3} \cdot 27 - 3 \cdot 9 = 18 - 27 = -9$.

$f(4) = \frac{2}{3}(4)^3 - 3(4)^2 = \frac{2}{3} \cdot 64 - 48 = \frac{128}{3} - \frac{144}{3} = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$.

5. Сравним полученные значения: $0$, $-9$, $-3\frac{2}{3}$ и $-5\frac{1}{3}$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $0$.

Наименьшее значение функции на отрезке равно $-9$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб} = f(0) = 0$; наименьшее значение $f_{наим} = f(3) = -9$.

2) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1$ на промежутке $[-4; 0]$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1)' = 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x - 18 = 3x^2 + 3x - 18$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 3x - 18 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному промежутку $[-4; 0]$.

Точка $x=-3$ принадлежит отрезку $[-4; 0]$.

Точка $x=2$ не принадлежит отрезку $[-4; 0]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-3$ и на концах отрезка:

$f(-4) = (-4)^3 + \frac{3}{2}(-4)^2 - 18(-4) + 1 = -64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 72 + 1 = -64 + 24 + 73 = 33$.

$f(-3) = (-3)^3 + \frac{3}{2}(-3)^2 - 18(-3) + 1 = -27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 54 + 1 = 28 + \frac{27}{2} = 28 + 13.5 = 41.5$.

$f(0) = 0^3 + \frac{3}{2} \cdot 0^2 - 18 \cdot 0 + 1 = 1$.

5. Сравним полученные значения: $33$, $41.5$ и $1$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $41.5$.

Наименьшее значение функции на отрезке равно $1$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб} = f(-3) = 41.5$; наименьшее значение $f_{наим} = f(0) = 1$.

3) $f(x) = x^4 + 3x^2 - 1$ на промежутке $[2; 3]$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 3x^2 - 1)' = 4x^3 + 6x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 + 6x = 0$

$2x(2x^2 + 3) = 0$

Единственный действительный корень этого уравнения $x=0$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка заданному промежутку $[2; 3]$.

Точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[2; 3]$.

4. Так как на отрезке $[2; 3]$ нет критических точек, а производная $f'(x) = 2x(2x^2 + 3)$ положительна для всех $x > 0$ (и, в частности, на отрезке $[2; 3]$), функция $f(x)$ возрастает на этом отрезке. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце, а наибольшее — на правом.

5. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(2) = 2^4 + 3 \cdot 2^2 - 1 = 16 + 3 \cdot 4 - 1 = 16 + 12 - 1 = 27$.

$f(3) = 3^4 + 3 \cdot 3^2 - 1 = 81 + 3 \cdot 9 - 1 = 81 + 27 - 1 = 107$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб} = f(3) = 107$; наименьшее значение $f_{наим} = f(2) = 27$.

4) $f(x) = \frac{x^2 + 12}{x - 2}$ на промежутке $[-3; 1]$

Область определения функции: $x \neq 2$. Заданный отрезок $[-3; 1]$ входит в область определения.

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \left(\frac{x^2 + 12}{x - 2}\right)' = \frac{(x^2+12)'(x-2) - (x^2+12)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2+12) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 12}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 12}{(x-2)^2}$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{x^2 - 4x - 12}{(x-2)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 - 4x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному промежутку $[-3; 1]$.

Точка $x=6$ не принадлежит отрезку $[-3; 1]$.

Точка $x=-2$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-2$ и на концах отрезка:

$f(-3) = \frac{(-3)^2 + 12}{-3 - 2} = \frac{9 + 12}{-5} = \frac{21}{-5} = -4.2$.

$f(-2) = \frac{(-2)^2 + 12}{-2 - 2} = \frac{4 + 12}{-4} = \frac{16}{-4} = -4$.

$f(1) = \frac{1^2 + 12}{1 - 2} = \frac{1 + 12}{-1} = -13$.

5. Сравним полученные значения: $-4.2$, $-4$ и $-13$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $-4$.

Наименьшее значение функции на отрезке равно $-13$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб} = f(-2) = -4$; наименьшее значение $f_{наим} = f(1) = -13$.