Номер 312, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

312. Найдите такое положительное число, что разность между квадратным корнем из этого числа и его удвоенным квадратом ($ \sqrt{x} - 2x^2 $) принимает наибольшее значение.

Пусть искомое положительное число равно $x$. По условию $x > 0$.

Квадратный корень из этого числа равен $\sqrt{x}$.
Удвоенный квадрат этого числа равен $2x^2$.
Разность между квадратным корнем и удвоенным квадратом можно выразить функцией $f(x)$:$f(x) = \sqrt{x} - 2x^2$

Нам нужно найти такое значение $x$, при котором функция $f(x)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

$f'(x) = (\sqrt{x} - 2x^2)' = (x^{1/2} - 2x^2)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2 \cdot 2x = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 4x$

Приравняем производную к нулю:$f'(x) = 0$$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 4x = 0$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{x}$ (это возможно, так как $x > 0$):$1 = 8x\sqrt{x}$$1 = 8x^{3/2}$$x^{3/2} = \frac{1}{8}$

Возведем обе части в степень $\frac{2}{3}$:$x = \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Мы нашли единственную критическую точку $x = \frac{1}{4}$. Теперь нужно проверить, является ли эта точка точкой максимума. Для этого найдем вторую производную.

$f''(x) = \left(\frac{1}{2}x^{-1/2} - 4x\right)' = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} - 4 = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} - 4$

Найдем значение второй производной в точке $x = \frac{1}{4}$:$f''\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^3}} - 4 = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{1}{64}}} - 4 = -\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}} - 4 = -\frac{1}{\frac{1}{2}} - 4 = -2 - 4 = -6$

Так как $f''\left(\frac{1}{4}\right) < 0$, точка $x = \frac{1}{4}$ является точкой максимума. Таким образом, искомое положительное число, при котором разность принимает наибольшее значение, равно $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$