Номер 314, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

314. В полукруг радиуса $3\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Поместим центр полукруга в начало координат $(0, 0)$ так, чтобы его диаметр лежал на оси Ox. Тогда уравнение окружности, частью которой является полукруг, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, где радиус $R = 3\sqrt{5}$ см. Уравнение верхней дуги полукруга, где $y \ge 0$, будет $y = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Пусть одна из сторон вписанного прямоугольника лежит на диаметре полукруга (оси Ox). Тогда вершины прямоугольника будут иметь координаты $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$. Две верхние вершины $(x, y)$ и $(-x, y)$ лежат на дуге полукруга.

Длина сторон прямоугольника равны $a = 2x$ и $b = y$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле:
$P = 2(a + b) = 2(2x + y)$

Так как вершина $(x, y)$ лежит на полукруге, ее координаты удовлетворяют уравнению $y = \sqrt{R^2 - x^2}$. Подставим значение радиуса $R = 3\sqrt{5}$:
$R^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$
Следовательно, $y = \sqrt{45 - x^2}$.

Теперь выразим периметр как функцию одной переменной $x$:
$P(x) = 2(2x + \sqrt{45 - x^2}) = 4x + 2\sqrt{45 - x^2}$
Областью определения для $x$ является интервал $(0, \sqrt{45})$.

Чтобы найти наибольшее значение периметра, необходимо найти производную функции $P(x)$ и приравнять ее к нулю:
$P'(x) = (4x + 2\sqrt{45 - x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{45 - x^2}} \cdot (-2x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{45 - x^2}}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$P'(x) = 0$
$4 - \frac{2x}{\sqrt{45 - x^2}} = 0$
$4 = \frac{2x}{\sqrt{45 - x^2}}$
$2\sqrt{45 - x^2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $x > 0$):
$4(45 - x^2) = x^2$
$180 - 4x^2 = x^2$
$5x^2 = 180$
$x^2 = 36$
$x = 6$ (выбираем положительный корень, так как $x$ - это половина длины стороны).

Проверим, является ли точка $x=6$ точкой максимума. Для этого определим знак производной $P'(x)$ на интервалах $(0, 6)$ и $(6, \sqrt{45})$.
Если $0 < x < 6$, то $2x < 12$. $4(45-x^2) > 4(45-36) = 36$, значит $2\sqrt{45-x^2} > 6$. Таким образом $2\sqrt{45-x^2} > x$, что приводит к $4 > \frac{2x}{\sqrt{45-x^2}}$, и $P'(x) > 0$. Функция возрастает.
Если $6 < x < \sqrt{45}$, то $2x > 12$. $4(45-x^2) < 4(45-36) = 36$, значит $2\sqrt{45-x^2} < 6$. Таким образом $2\sqrt{45-x^2} < x$, что приводит к $4 < \frac{2x}{\sqrt{45-x^2}}$, и $P'(x) < 0$. Функция убывает.
Следовательно, при $x=6$ функция периметра $P(x)$ достигает своего наибольшего значения.

Теперь найдем стороны прямоугольника:
Одна сторона: $a = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Другая сторона: $b = y = \sqrt{45 - x^2} = \sqrt{45 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 3 см.