Номер 315, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

315. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 8|x| + 15$ на промежутке $[-5; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - 8|x| + 15$ на промежутке $[-5; 1]$, необходимо исследовать поведение функции на этом промежутке. Наличие модуля $|x|$ предполагает рассмотрение двух случаев.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$, поэтому функцию можно представить в виде $f(x) = |x|^2 - 8|x| + 15$. Это парабола относительно $|x|$.

Раскроем модуль в зависимости от знака $x$ на заданном промежутке $[-5; 1]$:

1. При $x \in [-5; 0)$

На этом интервале $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$f(x) = x^2 - 8(-x) + 15 = x^2 + 8x + 15$.

Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину. Координата $x$ вершины параболы $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.
$x_0 = -8 / (2 \cdot 1) = -4$.

Точка $x = -4$ принадлежит промежутку $[-5; 0)$, поэтому она является точкой локального минимума на этом участке. Вычислим значение функции в этой точке:
$f(-4) = (-4)^2 + 8(-4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$.

2. При $x \in [0; 1]$

На этом промежутке $|x| = x$. Функция принимает вид:
$f(x) = x^2 - 8x + 15$.

Это также парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_0 = -(-8) / (2 \cdot 1) = 4$.

Точка $x = 4$ не принадлежит промежутку $[0; 1]$. На промежутке $[0; 1]$ функция $f(x) = x^2 - 8x + 15$ является убывающей, так как этот промежуток находится левее вершины параболы ($x_0 = 4$).

3. Сравнение значений

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на всем промежутке $[-5; 1]$ необходимо сравнить значения функции в критической точке $x = -4$ и на концах промежутка $x = -5$ и $x = 1$. Также следует учесть значение в точке $x=0$, где меняется определение функции.

Вычислим значения функции в этих точках:

• $f(-5) = (-5)^2 - 8|-5| + 15 = 25 - 8(5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0$.
• $f(-4) = (-4)^2 - 8|-4| + 15 = 16 - 8(4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$.
• $f(0) = 0^2 - 8|0| + 15 = 0 - 0 + 15 = 15$.
• $f(1) = 1^2 - 8|1| + 15 = 1 - 8 + 15 = 8$.

Сравнивая полученные значения $\{0, -1, 15, 8\}$, делаем вывод:
Наибольшее значение функции на промежутке $[-5; 1]$ равно 15 (достигается при $x=0$).
Наименьшее значение функции на промежутке $[-5; 1]$ равно -1 (достигается при $x=-4$).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 15, наименьшее значение функции равно -1.