Номер 5, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Являются ли равносильными уравнения:

1) $x^2 = 49$ и $x^2 + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{x+8} + 49;$

2) $x^2 = 49$ и $x^2 + \frac{1}{x+7} = \frac{1}{x+7} + 49?$

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их корней совпадают. Чтобы проверить равносильность, нужно найти корни каждого уравнения и сравнить полученные множества.

1) $x^2 = 49$ и $x^2 + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{x+8} + 49$

Найдем корни первого уравнения:
$x^2 = 49$
$x_1 = 7$, $x_2 = -7$.
Множество корней первого уравнения: $\{-7, 7\}$.

Теперь решим второе уравнение:
$x^2 + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{x+8} + 49$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+8 \neq 0$, следовательно, $x \neq -8$.
На ОДЗ мы можем вычесть из обеих частей уравнения слагаемое $\frac{1}{x+8}$, в результате чего получим:
$x^2 = 49$
Корни этого уравнения, как мы уже знаем, $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ.
Для $x=7$: $7 \neq -8$. Корень подходит.
Для $x=-7$: $-7 \neq -8$. Корень подходит.
Таким образом, множество корней второго уравнения также равно $\{-7, 7\}$.

Поскольку множества корней обоих уравнений совпадают, уравнения являются равносильными.
Ответ: да, являются.

2) $x^2 = 49$ и $x^2 + \frac{1}{x+7} = \frac{1}{x+7} + 49$

Множество корней первого уравнения $x^2 = 49$ нам уже известно: $\{-7, 7\}$.

Решим второе уравнение:
$x^2 + \frac{1}{x+7} = \frac{1}{x+7} + 49$
ОДЗ для этого уравнения: $x+7 \neq 0$, следовательно, $x \neq -7$.
Упростим уравнение, вычитая $\frac{1}{x+7}$ из обеих частей (в пределах ОДЗ):
$x^2 = 49$
Потенциальные корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ.
Для $x=7$: $7 \neq -7$. Корень подходит.
Для $x=-7$: условие $x \neq -7$ не выполняется. Следовательно, $x=-7$ является посторонним корнем и не входит в решение второго уравнения.
Таким образом, множество корней второго уравнения состоит из одного элемента: $\{7\}$.

Множество корней первого уравнения $\{-7, 7\}$, а второго — $\{7\}$. Так как множества корней не совпадают, эти уравнения не являются равносильными.
Ответ: нет, не являются.