Номер 7, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Решите неравенство:

1) $(x+1)(x-11)(x+9) > 0;$

2) $(5-x)(x-8)(x-6)^2 \le 0;$

3) $\frac{x}{x+3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2+3x} \ge 0.$

1) $(x+1)(x-11)(x+9) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

$(x+1)(x-11)(x+9) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = -1$, $x_2 = 11$, $x_3 = -9$.

Нанесем эти точки на числовую ось в порядке возрастания: $-9$, $-1$, $11$. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; -1)$, $(-1; 11)$, $(11; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=12$:

$(12+1)(12-11)(12+9) = 13 \cdot 1 \cdot 21 > 0$.

Значит, в интервале $(11; +\infty)$ выражение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Двигаясь справа налево, получаем знаки: $+$, $-$, $+$, $-$.

- -9 + -1 - 11 +

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак $+$). Это интервалы $(-9; -1)$ и $(11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9; -1) \cup (11; +\infty)$.

2) $(5-x)(x-8)(x-6)^2 \le 0$

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в первом множителе был положительным. Для этого вынесем $-1$ за скобку:

$-(x-5)(x-8)(x-6)^2 \le 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(x-5)(x-8)(x-6)^2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = 8$, $x_3 = 6$. Корень $x=6$ имеет четную кратность (равную 2).

Нанесем точки $5$, $6$, $8$ на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными.

Определим знаки на интервалах. Возьмем $x=10$ из крайнего правого интервала:

$(10-5)(10-8)(10-6)^2 = 5 \cdot 2 \cdot 4^2 > 0$.

При переходе через корень $x=8$ (нечетная кратность) знак меняется. При переходе через корень $x=6$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через корень $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется.

Получаем знаки на интервалах: $+$, $-$, $-$, $+$.

+ 5 - 6 - 8 +

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; 5]$ и $[8; +\infty)$. Также не забываем включить в ответ корень $x=6$, так как в этой точке выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5] \cup \{6\} \cup [8; +\infty)$.

3) $\frac{x}{x+3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2+3x} \ge 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$x \neq 0$

$x^2+3x = x(x+3) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -3$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x+3)} + \frac{5 \cdot (x+3)}{x(x+3)} - \frac{9}{x(x+3)} \ge 0$

$\frac{x^2 + 5x + 15 - 9}{x(x+3)} \ge 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x(x+3)} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

Тогда $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+2)(x+3)}{x(x+3)} \ge 0$

Сократим дробь на $(x+3)$, помня, что $x \neq -3$ из ОДЗ.

$\frac{x+2}{x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=-2$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Наносим точки на числовую ось. Точка $x=-2$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=0$ выколотая (знаменатель).

Получаем интервалы $(-\infty; -2]$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$.

+ -2 - 0 +

Решение неравенства $\frac{x+2}{x} \ge 0$ есть $x \in (-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ, а именно условие $x \neq -3$. Точка $-3$ входит в промежуток $(-\infty; -2]$, поэтому ее нужно исключить.

Окончательное решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2] \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2] \cup (0; +\infty)$.