Номер 2, страница 161 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{2\frac{10}{27}} \cdot \sqrt[4]{5\frac{1}{16}} + \sqrt[7]{-128};$

2) $\sqrt[3]{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}};$

3) $\sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8};$

4) $\sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}}.$

1) Выполним вычисления по частям. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и извлечем корни:
$ \sqrt[3]{2\frac{10}{27}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 27 + 10}{27}} = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3} $
$ \sqrt[4]{5\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{5 \cdot 16 + 1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2} $
$ \sqrt[7]{-128} = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2 $
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и вычислим результат:
$ \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} + 4 \cdot (-2) = \frac{12}{6} - 8 = 2 - 8 = -6 $
Ответ: -6.

2) Используем свойство корня $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $ для каждого множителя в числителе и знаменателе:
$ \sqrt[3]{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}} = \frac{\sqrt[3]{3^9} \cdot \sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]{2^{12}}} = \frac{3^{\frac{9}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{2^{\frac{12}{3}}} = \frac{3^3 \cdot 7^1}{2^4} = \frac{27 \cdot 7}{16} = \frac{189}{16} $
Ответ: $ \frac{189}{16} $.

3) Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $:
$ \sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{162 \cdot 8} $
Чтобы упростить вычисление, разложим числа под корнем на множители:
$ 162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2 $
$ 8 = 2^3 $
$ \sqrt[4]{(3^4 \cdot 2) \cdot 2^3} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2^4} = \sqrt[4]{(3 \cdot 2)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6 $
Ответ: 6.

4) Используем свойство произведения корней одинаковой степени $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $:
$ \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})} $
Выражение в скобках является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ (6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - (4 \cdot 5) = 36 - 20 = 16 $
Теперь извлечем корень из полученного числа:
$ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 $
Ответ: 2.