Страница 161 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

7. Решите неравенство:

1) $(x+1)(x-11)(x+9) > 0;$

2) $(5-x)(x-8)(x-6)^2 \le 0;$

3) $\frac{x}{x+3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2+3x} \ge 0.$

1) $(x+1)(x-11)(x+9) > 0$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

$(x+1)(x-11)(x+9) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = -1$, $x_2 = 11$, $x_3 = -9$.

Нанесем эти точки на числовую ось в порядке возрастания: $-9$, $-1$, $11$. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -9)$, $(-9; -1)$, $(-1; 11)$, $(11; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например, $x=12$:

$(12+1)(12-11)(12+9) = 13 \cdot 1 \cdot 21 > 0$.

Значит, в интервале $(11; +\infty)$ выражение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Двигаясь справа налево, получаем знаки: $+$, $-$, $+$, $-$.

- -9 + -1 - 11 +

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак $+$). Это интервалы $(-9; -1)$ и $(11; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9; -1) \cup (11; +\infty)$.

2) $(5-x)(x-8)(x-6)^2 \le 0$

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в первом множителе был положительным. Для этого вынесем $-1$ за скобку:

$-(x-5)(x-8)(x-6)^2 \le 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$(x-5)(x-8)(x-6)^2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = 8$, $x_3 = 6$. Корень $x=6$ имеет четную кратность (равную 2).

Нанесем точки $5$, $6$, $8$ на числовую ось. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными.

Определим знаки на интервалах. Возьмем $x=10$ из крайнего правого интервала:

$(10-5)(10-8)(10-6)^2 = 5 \cdot 2 \cdot 4^2 > 0$.

При переходе через корень $x=8$ (нечетная кратность) знак меняется. При переходе через корень $x=6$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через корень $x=5$ (нечетная кратность) знак меняется.

Получаем знаки на интервалах: $+$, $-$, $-$, $+$.

+ 5 - 6 - 8 +

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; 5]$ и $[8; +\infty)$. Также не забываем включить в ответ корень $x=6$, так как в этой точке выражение равно нулю, что удовлетворяет условию $ \ge 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5] \cup \{6\} \cup [8; +\infty)$.

3) $\frac{x}{x+3} + \frac{5}{x} - \frac{9}{x^2+3x} \ge 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю:

$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$

$x \neq 0$

$x^2+3x = x(x+3) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq -3$.

ОДЗ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{x \cdot x}{x(x+3)} + \frac{5 \cdot (x+3)}{x(x+3)} - \frac{9}{x(x+3)} \ge 0$

$\frac{x^2 + 5x + 15 - 9}{x(x+3)} \ge 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x(x+3)} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

Тогда $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+2)(x+3)}{x(x+3)} \ge 0$

Сократим дробь на $(x+3)$, помня, что $x \neq -3$ из ОДЗ.

$\frac{x+2}{x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=-2$. Нуль знаменателя: $x=0$.

Наносим точки на числовую ось. Точка $x=-2$ закрашенная (неравенство нестрогое), точка $x=0$ выколотая (знаменатель).

Получаем интервалы $(-\infty; -2]$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$.

+ -2 - 0 +

Решение неравенства $\frac{x+2}{x} \ge 0$ есть $x \in (-\infty; -2] \cup (0; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ, а именно условие $x \neq -3$. Точка $-3$ входит в промежуток $(-\infty; -2]$, поэтому ее нужно исключить.

Окончательное решение: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2] \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; -2] \cup (0; +\infty)$.

1. При каких значениях $a$ график функции $y = ax^{-3} + 2$ проходит через точку $A\left(-2; \frac{1}{8}\right)$?

Для того чтобы график функции $y = ax^{-3} + 2$ проходил через точку $A(-2; \frac{1}{8})$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = -2$ и $y = \frac{1}{8}$ в уравнение функции, чтобы найти значение параметра $a$.

Получаем уравнение:

$\frac{1}{8} = a(-2)^{-3} + 2$

Сначала вычислим значение $(-2)^{-3}$. Отрицательная степень означает обратное число, возведенное в положительную степень:

$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$

Теперь подставим это значение обратно в наше уравнение:

$\frac{1}{8} = a \cdot (-\frac{1}{8}) + 2$

$\frac{1}{8} = -\frac{a}{8} + 2$

Чтобы решить это уравнение относительно $a$, перенесем 2 в левую часть:

$\frac{1}{8} - 2 = -\frac{a}{8}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{a}{8}$

$-\frac{15}{8} = -\frac{a}{8}$

Умножим обе части уравнения на -8, чтобы найти $a$:

$(-\frac{15}{8}) \cdot (-8) = (-\frac{a}{8}) \cdot (-8)$

$a = 15$

Таким образом, при $a=15$ график функции $y = 15x^{-3} + 2$ проходит через точку $A(-2; \frac{1}{8})$.

Ответ: $a=15$.

2. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{2\frac{10}{27}} \cdot \sqrt[4]{5\frac{1}{16}} + \sqrt[7]{-128};$

2) $\sqrt[3]{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}};$

3) $\sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8};$

4) $\sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}}.$

1) Выполним вычисления по частям. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и извлечем корни:
$ \sqrt[3]{2\frac{10}{27}} = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot 27 + 10}{27}} = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3} $
$ \sqrt[4]{5\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{5 \cdot 16 + 1}{16}} = \sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{3}{2} $
$ \sqrt[7]{-128} = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2 $
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и вычислим результат:
$ \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2} + 4 \cdot (-2) = \frac{12}{6} - 8 = 2 - 8 = -6 $
Ответ: -6.

2) Используем свойство корня $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $ для каждого множителя в числителе и знаменателе:
$ \sqrt[3]{\frac{3^9 \cdot 7^3}{2^{12}}} = \frac{\sqrt[3]{3^9} \cdot \sqrt[3]{7^3}}{\sqrt[3]{2^{12}}} = \frac{3^{\frac{9}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{2^{\frac{12}{3}}} = \frac{3^3 \cdot 7^1}{2^4} = \frac{27 \cdot 7}{16} = \frac{189}{16} $
Ответ: $ \frac{189}{16} $.

3) Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $:
$ \sqrt[4]{162} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{162 \cdot 8} $
Чтобы упростить вычисление, разложим числа под корнем на множители:
$ 162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2 $
$ 8 = 2^3 $
$ \sqrt[4]{(3^4 \cdot 2) \cdot 2^3} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2^4} = \sqrt[4]{(3 \cdot 2)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6 $
Ответ: 6.

4) Используем свойство произведения корней одинаковой степени $ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} $:
$ \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5})} $
Выражение в скобках является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:
$ (6 - 2\sqrt{5})(6 + 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - (4 \cdot 5) = 36 - 20 = 16 $
Теперь извлечем корень из полученного числа:
$ \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 $
Ответ: 2.

3. Решите уравнение:

1) $64x^3 + 27 = 0$;

2) $(x-3)^5 = 32$;

3) $(2x + 7)^4 = 81$;

4) $\sqrt[3]{x-1} = -5$;

5) $\sqrt[4]{x+1} = -3$;

6) $\sqrt[5]{x^4 + 16} = 2$.

1) $64x^3 + 27 = 0$

Перенесем 27 в правую часть уравнения:

$64x^3 = -27$

Разделим обе части на 64:

$x^3 = -\frac{27}{64}$

Извлечем кубический корень из обеих частей:

$x = \sqrt[3]{-\frac{27}{64}}$

$x = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

$x = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

2) $(x - 3)^5 = 32$

Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:

$\sqrt[5]{(x - 3)^5} = \sqrt[5]{32}$

Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.

$x - 3 = 2$

Перенесем -3 в правую часть:

$x = 2 + 3$

$x = 5$

Ответ: 5.

3) $(2x + 7)^4 = 81$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как показатель степени четный, то выражение под знаком корня в левой части становится модулем:

$\sqrt[4]{(2x + 7)^4} = \sqrt[4]{81}$

$|2x + 7| = 3$

Это уравнение равносильно двум линейным уравнениям:

1. $2x + 7 = 3$

$2x = 3 - 7$

$2x = -4$

$x_1 = -2$

2. $2x + 7 = -3$

$2x = -3 - 7$

$2x = -10$

$x_2 = -5$

Ответ: -5; -2.

4) $\sqrt[3]{x - 1} = -5$

Возведем обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от кубического корня:

$(\sqrt[3]{x - 1})^3 = (-5)^3$

$x - 1 = -125$

Перенесем -1 в правую часть:

$x = -125 + 1$

$x = -124$

Ответ: -124.

5) $\sqrt[4]{x + 1} = -3$

Арифметический корень четной степени (в данном случае, четвертой) по определению является неотрицательным числом. Это означает, что левая часть уравнения $\sqrt[4]{x + 1}$ всегда больше или равна нулю ($\sqrt[4]{x + 1} \ge 0$) для всех допустимых значений $x$. Правая часть уравнения равна -3.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет.

6) $\sqrt[5]{x^4 + 16} = 2$

Возведем обе части уравнения в пятую степень:

$(\sqrt[5]{x^4 + 16})^5 = 2^5$

$x^4 + 16 = 32$

Перенесем 16 в правую часть:

$x^4 = 32 - 16$

$x^4 = 16$

Извлечем корень четвертой степени из обеих частей. Так как показатель степени четный, получаем два противоположных по знаку решения:

$x = \pm \sqrt[4]{16}$

$x = \pm 2$

Ответ: -2; 2.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^{-3} - 3$ на промежутке $[-3; -2]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 3$ на промежутке $[-3; -2]$, необходимо найти значения функции на концах этого промежутка, а также в критических точках, принадлежащих этому промежутку. Затем нужно сравнить полученные значения.

1. Нахождение производной функции

Чтобы найти критические точки, сначала найдём производную функции $y(x)$:

$y' = (x^3 - 3)' = 3x^2$

2. Нахождение критических точек

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

$3x^2 = 0$

Решением этого уравнения является $x = 0$.

3. Проверка принадлежности критических точек промежутку

Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка $x=0$ заданному промежутку $[-3; -2]$.

Так как $0$ не входит в промежуток $[-3; -2]$, мы не рассматриваем значение функции в этой точке.

4. Вычисление значений функции на концах промежутка

Поскольку в заданном промежутке нет критических точек, наибольшее и наименьшее значения функция принимает на его концах. Вычислим значения функции в точках $x = -3$ и $x = -2$.

• При $x = -3$:
  $y(-3) = (-3)^3 - 3 = -27 - 3 = -30$
• При $x = -2$:
  $y(-2) = (-2)^3 - 3 = -8 - 3 = -11$

5. Определение наибольшего и наименьшего значений

Сравниваем полученные значения: $-30$ и $-11$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = -30$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = -11$.

Ответ: наименьшее значение функции на промежутке $[-3; -2]$ равно $-30$, а наибольшее значение равно $-11$.

5. Упростите выражение:

1) $\sqrt[20]{a^5}$;

2) $\sqrt[4]{a^3 \sqrt[5]{a}}$;

3) $\sqrt[16]{a^{16}}$, если $a \ge 0$;

4) $\sqrt[8]{(a + 9)^8}$, если $a \le -9$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[20]{a^5}$ воспользуемся свойством корня, которое можно записать в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Применяя это свойство, получаем:
$\sqrt[20]{a^5} = a^{\frac{5}{20}}$
Сократим дробь в показателе степени:
$\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$a^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a}$
Ответ: $\sqrt[4]{a}$

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{a^3 \sqrt[5]{a}}$, работая изнутри наружу. Сначала преобразуем произведение под внешним корнем, используя степени с рациональными показателями.
Внутренний корень $\sqrt[5]{a}$ можно записать как $a^{\frac{1}{5}}$.
Теперь выражение под внешним корнем имеет вид: $a^3 \cdot a^{\frac{1}{5}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$a^3 \cdot a^{\frac{1}{5}} = a^{3 + \frac{1}{5}} = a^{\frac{15}{5} + \frac{1}{5}} = a^{\frac{16}{5}}$
Подставим это обратно в исходное выражение:
$\sqrt[4]{a^{\frac{16}{5}}}$
Теперь применим свойство $(\sqrt[n]{x^m}) = (x^m)^{\frac{1}{n}} = x^{\frac{m}{n}}$:
$(a^{\frac{16}{5}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{16}{5} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{16}{20}} = a^{\frac{4}{5}}$
Запишем результат в виде корня:
$a^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{a^4}$
Ответ: $\sqrt[5]{a^4}$

3) Для выражения $\sqrt[16]{a^{16}}$ при $a \ge 0$ воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
В данном случае показатель корня $16$ — четное число, поэтому:
$\sqrt[16]{a^{16}} = |a|$
По условию задачи $a \ge 0$. По определению модуля, если число неотрицательное, то его модуль равен самому числу.
Следовательно, $|a| = a$.
Ответ: $a$

4) Для выражения $\sqrt[8]{(a+9)^8}$ при $a \le -9$ также используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
Показатель корня $8$ — четное число, поэтому:
$\sqrt[8]{(a+9)^8} = |a+9|$
Теперь рассмотрим знак выражения под модулем, используя условие $a \le -9$.
Перенесем 9 в левую часть неравенства:
$a - (-9) \le 0 \Rightarrow a+9 \le 0$
Это означает, что выражение $a+9$ является неположительным. По определению модуля, если выражение неположительно, его модуль равен противоположному выражению.
$|a+9| = -(a+9) = -a-9$
Ответ: $-a-9$