Страница 154 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

284. Найдите производную функции:

1) $y = (5 - 4x)^3;$

2) $y = (x^2 - 3x + 4)^6;$

3) $y = \frac{1}{(x^2 - 5x)^5};$

4) $y = \sqrt{4x - 6};$

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 9x};$

6) $y = \cos 9x;$

7) $y = \tan^2 x;$

8) $y = \sqrt{\sin 5x};$

9) $y = \frac{\sin 3x}{x - 1};$

10) $y = x^3 \sin \frac{1}{x}.$

1) $y = (5 - 4x)^3$

Для нахождения производной этой сложной функции воспользуемся формулой производной степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. В данном случае, $u = 5 - 4x$ и $n = 3$.

Производная внутренней функции $u' = (5 - 4x)' = -4$.

Подставляем в формулу:

$y' = 3 \cdot (5 - 4x)^{3-1} \cdot (5 - 4x)' = 3 \cdot (5 - 4x)^2 \cdot (-4) = -12(5 - 4x)^2$.

Ответ: $y' = -12(5 - 4x)^2$.

2) $y = (x^2 - 3x + 4)^6$

Это сложная функция. Применяем ту же формулу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Здесь $u = x^2 - 3x + 4$ и $n = 6$.

Производная внутренней функции $u' = (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3$.

Подставляем в формулу:

$y' = 6 \cdot (x^2 - 3x + 4)^{6-1} \cdot (x^2 - 3x + 4)' = 6(x^2 - 3x + 4)^5(2x - 3)$.

Ответ: $y' = 6(2x - 3)(x^2 - 3x + 4)^5$.

3) $y = \frac{1}{(x^2 - 5x)^5}$

Перепишем функцию в виде степени: $y = (x^2 - 5x)^{-5}$.

Используем правило производной сложной степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Здесь $u = x^2 - 5x$ и $n = -5$.

Производная внутренней функции $u' = (x^2 - 5x)' = 2x - 5$.

$y' = -5 \cdot (x^2 - 5x)^{-5-1} \cdot (x^2 - 5x)' = -5(x^2 - 5x)^{-6}(2x - 5) = -\frac{5(2x - 5)}{(x^2 - 5x)^6}$.

Ответ: $y' = -\frac{5(2x - 5)}{(x^2 - 5x)^6}$.

4) $y = \sqrt{4x - 6}$

Перепишем функцию в виде степени: $y = (4x - 6)^{1/2}$.

Используем правило производной сложной степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Здесь $u = 4x - 6$ и $n = 1/2$.

Производная внутренней функции $u' = (4x - 6)' = 4$.

$y' = \frac{1}{2}(4x - 6)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (4x - 6)' = \frac{1}{2}(4x - 6)^{-1/2} \cdot 4 = 2(4x - 6)^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{4x - 6}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{\sqrt{4x - 6}}$.

5) $y = \sqrt[3]{x^3 - 9x}$

Перепишем функцию в виде степени: $y = (x^3 - 9x)^{1/3}$.

Используем правило производной сложной степенной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Здесь $u = x^3 - 9x$ и $n = 1/3$.

Производная внутренней функции $u' = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9$.

$y' = \frac{1}{3}(x^3 - 9x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (x^3 - 9x)' = \frac{1}{3}(x^3 - 9x)^{-2/3} \cdot (3x^2 - 9) = \frac{3x^2 - 9}{3\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}} = \frac{3(x^2 - 3)}{3\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}} = \frac{x^2 - 3}{\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 3}{\sqrt[3]{(x^3 - 9x)^2}}$.

6) $y = \cos(9x)$

Для нахождения производной используем правило для сложной тригонометрической функции $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. Здесь $u = 9x$.

Производная внутренней функции $u' = (9x)' = 9$.

$y' = -\sin(9x) \cdot (9x)' = -\sin(9x) \cdot 9 = -9\sin(9x)$.

Ответ: $y' = -9\sin(9x)$.

7) $y = \tg^2x$

Перепишем функцию как $y = (\tg x)^2$. Это сложная функция вида $u^2$, где $u = \tg x$.

Используем формулу $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. Производная внутренней функции $u' = (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2x}$.

$y' = 2(\tg x)^{2-1} \cdot (\tg x)' = 2\tg x \cdot \frac{1}{\cos^2x} = \frac{2\tg x}{\cos^2x}$.

Ответ: $y' = \frac{2\tg x}{\cos^2x}$.

8) $y = \sqrt{\sin 5x}$

Это сложная функция. Перепишем ее в виде $y = (\sin 5x)^{1/2}$.

Применяем правило производной степенной функции $y' = \frac{1}{2}(\sin 5x)^{-1/2} \cdot (\sin 5x)'$.

Теперь найдем производную от $\sin 5x$, что тоже является сложной функцией: $(\sin 5x)' = \cos 5x \cdot (5x)' = 5\cos 5x$.

Собираем все вместе: $y' = \frac{1}{2}(\sin 5x)^{-1/2} \cdot 5\cos 5x = \frac{5\cos 5x}{2\sqrt{\sin 5x}}$.

Ответ: $y' = \frac{5\cos 5x}{2\sqrt{\sin 5x}}$.

9) $y = \frac{\sin 3x}{x - 1}$

Используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u = \sin 3x$ и $v = x - 1$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\sin 3x)' = \cos 3x \cdot (3x)' = 3\cos 3x$.

$v' = (x - 1)' = 1$.

Подставляем в формулу: $y' = \frac{(3\cos 3x)(x - 1) - (\sin 3x)(1)}{(x-1)^2} = \frac{3(x - 1)\cos 3x - \sin 3x}{(x-1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{3(x - 1)\cos 3x - \sin 3x}{(x-1)^2}$.

10) $y = x^3 \sin \frac{1}{x}$

Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x^3$ и $v = \sin \frac{1}{x}$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x^3)' = 3x^2$.

$v' = (\sin \frac{1}{x})' = \cos(\frac{1}{x}) \cdot (\frac{1}{x})' = \cos(\frac{1}{x}) \cdot (-x^{-2}) = -\frac{\cos(1/x)}{x^2}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (3x^2)(\sin \frac{1}{x}) + (x^3)(-\frac{\cos(1/x)}{x^2}) = 3x^2\sin\frac{1}{x} - \frac{x^3\cos(1/x)}{x^2} = 3x^2\sin\frac{1}{x} - x\cos\frac{1}{x}$.

Ответ: $y' = 3x^2\sin\frac{1}{x} - x\cos\frac{1}{x}$.

285. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \cos 4x, x_0 = \frac{\pi}{16};$

2) $f(x) = \sqrt{2x^2 - 4x}, x_0 = -2.$

1)

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = \cos(4x)$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В данном случае $g(u) = \cos u$ и $h(x) = 4x$.

Производная внешней функции: $(\cos(4x))' = -\sin(4x)$.

Производная внутренней функции: $(4x)' = 4$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{16}$:

$k = f'(\frac{\pi}{16}) = -4\sin(4 \cdot \frac{\pi}{16}) = -4\sin(\frac{4\pi}{16}) = -4\sin(\frac{\pi}{4})$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$k = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.

Ответ: $-2\sqrt{2}$.

2)

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции $f(x) = \sqrt{2x^2 - 4x}$ в точке $x_0 = -2$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции. Представим функцию как $f(x) = (2x^2 - 4x)^{1/2}$.

Внешняя функция: $g(u) = \sqrt{u}$, ее производная $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Внутренняя функция: $h(x) = 2x^2 - 4x$, ее производная $h'(x) = 4x - 4$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - 4x}} \cdot (4x - 4) = \frac{4x - 4}{2\sqrt{2x^2 - 4x}}$.

Упростим выражение, сократив на 2:

$f'(x) = \frac{2(2x - 2)}{2\sqrt{2x^2 - 4x}} = \frac{2x - 2}{\sqrt{2x^2 - 4x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$k = f'(-2) = \frac{2(-2) - 2}{\sqrt{2(-2)^2 - 4(-2)}} = \frac{-4 - 2}{\sqrt{2 \cdot 4 + 8}} = \frac{-6}{\sqrt{8 + 8}} = \frac{-6}{\sqrt{16}}$.

Вычисляем итоговое значение:

$k = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

286. Точка движется прямолинейно по закону $x(t) = 2t^2 - 5t + 7$ (время $t$ измеряется в секундах, перемещение $x$ — в метрах). Найдите скорость движения точки в момент времени $t_0 = 3$ с.

Закон движения точки задан уравнением $x(t) = 2t^2 - 5t + 7$, где $x$ — перемещение в метрах, а $t$ — время в секундах.

Скорость движения точки в любой момент времени $t$ является первой производной функции перемещения $x(t)$ по времени $t$. Обозначим скорость как $v(t)$.

$v(t) = x'(t)$

Найдем производную от заданной функции $x(t)$:

$v(t) = (2t^2 - 5t + 7)' = (2t^2)' - (5t)' + (7)'$

Используя правила дифференцирования, получаем:

$v(t) = 2 \cdot 2t - 5 \cdot 1 + 0 = 4t - 5$

Теперь, чтобы найти скорость движения точки в момент времени $t_0 = 3$ с, нужно подставить это значение в полученную функцию скорости $v(t)$:

$v(3) = 4 \cdot 3 - 5 = 12 - 5 = 7$

Так как перемещение измеряется в метрах, а время в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 7 м/с.

287. Материальная точка массой 3 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = 4t^2 + 3$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите импульс $P(t) = mv(t)$ материальной точки в момент времени $t_0 = 4$ с.

Для решения задачи необходимо найти импульс материальной точки $P(t)$ в заданный момент времени $t_0 = 4$ с. Импульс вычисляется по формуле $P(t) = m \cdot v(t)$, где $m$ — масса, а $v(t)$ — мгновенная скорость.

Дано:
Масса точки $m = 3$ кг.
Закон движения (перемещение) $s(t) = 4t^2 + 3$.
Момент времени $t_0 = 4$ с.

1. Нахождение скорости $v(t)$
Мгновенная скорость $v(t)$ является первой производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$:
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(4t^2 + 3)$
Применяя правила дифференцирования, получаем:
$v(t) = 4 \cdot 2t^{2-1} + 0 = 8t$
Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид $v(t) = 8t$.

2. Вычисление скорости в момент времени $t_0 = 4$ с
Подставим значение $t_0 = 4$ с в формулу для скорости:
$v(4) = 8 \cdot 4 = 32$ м/с.

3. Вычисление импульса в момент времени $t_0 = 4$ с
Теперь, зная массу и скорость в нужный момент времени, можем вычислить импульс:
$P(4) = m \cdot v(4) = 3 \text{ кг} \cdot 32 \text{ м/с} = 96 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

Ответ: $96 \text{ кг}\cdot\text{м/с}$.

288. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3 + 2x$, $x_0 = 4$;

2) $f(x) = \frac{1}{x+3}$, $x_0 = -2$;

3) $f(x) = \sqrt{x-5}$, $x_0 = 9$;

4) $f(x) = \cos \frac{1}{2}x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

1) $f(x) = x³ + 2x, x₀ = 4$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:

$f(4) = 4^3 + 2 \cdot 4 = 64 + 8 = 72$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 4$:

$f'(4) = 3 \cdot 4^2 + 2 = 3 \cdot 16 + 2 = 48 + 2 = 50$.

4. Подставим найденные значения $f(4) = 72$, $f'(4) = 50$ и $x_0 = 4$ в уравнение касательной:

$y = 72 + 50(x - 4)$

$y = 72 + 50x - 200$

$y = 50x - 128$.

Ответ: $y = 50x - 128$.

2) $f(x) = \frac{1}{x+3}, x₀ = -2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = \frac{1}{-2 + 3} = \frac{1}{1} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{x+3}\right)' = \left((x+3)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x+3)^{-2} \cdot (x+3)' = -\frac{1}{(x+3)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = -\frac{1}{(-2+3)^2} = -\frac{1}{1^2} = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(-2) = 1$, $f'(-2) = -1$ и $x_0 = -2$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-1)(x - (-2))$

$y = 1 - (x + 2)$

$y = 1 - x - 2$

$y = -x - 1$.

Ответ: $y = -x - 1$.

3) $f(x) = \sqrt{x-5}, x₀ = 9$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 9$:

$f(9) = \sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x-5})' = \left((x-5)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}(x-5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x-5)' = \frac{1}{2\sqrt{x-5}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 9$:

$f'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9-5}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f(9) = 2$, $f'(9) = \frac{1}{4}$ и $x_0 = 9$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{4}(x - 9)$

$y = 2 + \frac{1}{4}x - \frac{9}{4}$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{8}{4} - \frac{9}{4}$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$.

4) $f(x) = \cos\frac{1}{2}x, x₀ = \frac{\pi}{3}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\cos\frac{x}{2}\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4}$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{1}{4}\right)\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}x + \frac{\pi}{12}$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$.

289. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$ в точке его пересечения с осью ординат.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем точку касания.
Касательная проводится в точке пересечения графика с осью ординат. Абсцисса этой точки $x_0 = 0$.
Найдем ординату точки касания, вычислив значение функции при $x_0 = 0$:
$y_0 = f(0) = \cos(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3})$.
Используя свойство четности функции косинус ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), получаем:
$y_0 = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; \frac{1}{2})$.

2. Найдем производную функции.
Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}))' = -\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) \cdot (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})' = -\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{2}$.
$f'(x) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной.
Угловой коэффициент $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{3})$.
Используя свойство нечетности функции синус ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$k = -\frac{1}{2}(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

4. Составим уравнение касательной.
Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{1}{2}$ и $f'(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ в общее уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 0)$.
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.