Номер 285, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

285. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \cos 4x, x_0 = \frac{\pi}{16};$

2) $f(x) = \sqrt{2x^2 - 4x}, x_0 = -2.$

1)

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = \cos(4x)$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В данном случае $g(u) = \cos u$ и $h(x) = 4x$.

Производная внешней функции: $(\cos(4x))' = -\sin(4x)$.

Производная внутренней функции: $(4x)' = 4$.

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -\sin(4x) \cdot 4 = -4\sin(4x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{16}$:

$k = f'(\frac{\pi}{16}) = -4\sin(4 \cdot \frac{\pi}{16}) = -4\sin(\frac{4\pi}{16}) = -4\sin(\frac{\pi}{4})$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$k = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$.

Ответ: $-2\sqrt{2}$.

2)

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции $f(x) = \sqrt{2x^2 - 4x}$ в точке $x_0 = -2$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции. Представим функцию как $f(x) = (2x^2 - 4x)^{1/2}$.

Внешняя функция: $g(u) = \sqrt{u}$, ее производная $g'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Внутренняя функция: $h(x) = 2x^2 - 4x$, ее производная $h'(x) = 4x - 4$.

Производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 - 4x}} \cdot (4x - 4) = \frac{4x - 4}{2\sqrt{2x^2 - 4x}}$.

Упростим выражение, сократив на 2:

$f'(x) = \frac{2(2x - 2)}{2\sqrt{2x^2 - 4x}} = \frac{2x - 2}{\sqrt{2x^2 - 4x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$k = f'(-2) = \frac{2(-2) - 2}{\sqrt{2(-2)^2 - 4(-2)}} = \frac{-4 - 2}{\sqrt{2 \cdot 4 + 8}} = \frac{-6}{\sqrt{8 + 8}} = \frac{-6}{\sqrt{16}}$.

Вычисляем итоговое значение:

$k = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.